[理学]高数第二章习题解答

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1、高等数学习题解答（第二章导数与微分）惠州学院数学系35--参考答案习题2--11.设，试按导数定义求.解：2.设（，，为常数），试按导数定义求.解：3.用定义证明解：f¢(x).即(cosx)¢=-sinx.4.求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解：35--5.将一个物体铅直上抛，经过时间（单位：）后，物体上升高度为（单位：），试求：（1）物体在1到1+t这段时间内的平均速度；（2）物体在1s时的瞬时速度；（3）物体在到这段时间内的平均速度；（4）物体在时的瞬时速度.解：（1）物体在1到1+t这段时间内的平均速度为（

2、m/s）（2）物体在1s时的瞬时速度为（m/s）（3）物体在到这段时间内的平均速度为（m/s）（4）物体在时的瞬时速度为（m/s）35--6.在抛物线上取横坐标为的两点，作过这两点的割线，问抛物线上哪一点的切线平行于这条割线，并写出这条切线的方程.解：割线的斜率，令，得从而即曲线在点(2,4)的切线平行于该割线，其切线方程为：y-4=4(x-2),即y-4x+4=0.7.求曲线上点(，)处的切线方程和法线方程.解：切线的斜率：，则法线的斜率从而所求切线方程为，法线方程为8.求曲线的通过点(0,-4)的切线方程.解：，则过曲线上一点的切线方程为，将(

3、0,-4)代入直线方程得，从而所求切线方程为。9.证明：双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于.证明：因为，在曲线上任取一点，则过该点的切线方程为。则该切线在x，y轴的截距分别为，35--，于是切线与两坐标轴所围面积10.讨论下列函数在处的连续性与可导性：（1）；（2）；（3）解：（1），所以函数在处连续。而，所以函数在点处不可导.（2），而，所以函数在处连续而，所以函数在点处可导.（3），而，所以函数在处连续而，所以函数在点处不可导.11.设在处可导，求，的值。35--解：要使函数在处连续且可导，则应满足存在，，又，要使存在，则

4、，。12.设求，。解：13.设所给函数可导，证明：(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.(2)周期函数的导数仍为周期函数证明：(1)设，且可导，则由导数定义即结论可证。(2)略..14.设函数f(x)在x=0处可导，在什么情况下函数

5、f(x)

6、在x=0处也可导.35--解：当时，不妨设，则在的某一邻域中有，故，所以在处也可导；当时，由于，其中，分别在处计算左、右极限，得在处的左导数为，右导数为，所以在处也可导的充分必要条件。习题2--21.推导余切函数与余割函数的导数公式解：（1）（2）。2.证明：（1）（2）解：（1）；（2）同理可证

7、。3.求下列函数的导数:35--（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）解：（1）（2）（3）从而（4）（5）（6）=（7）（8）（9）35--（10）4.求下列函数的导数（其中是常数）:（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）解：（1）(2)(3)(4)(5)(6)(7)（8）（9）35--5.设函数可导，求下列函数的导数:（1）（2）（3），求（4）（5）（6）解：（1）（2）（3）6.讨论分段函数的可导性.解：时，。时，时，从而，函数在x=0处连续。，。从而f(x)在x=035--处不可导。综合上述

8、7.求下列函数的导数：（1）（2）解：（1）（2）8.求下列函数的导数（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）解：（1）（2）（3），于是，（4）（5）35--（6）（7）（8）习题2—31.求下列函数的二阶导数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解：（1），（2），（3）35--（4），（5），（6），2.求下列函数在指定点的二阶导数：（1），求；（2），求.解：（1）（2）3.验证函数满足关系式.解：，，于是将代入得，即函数满足关系式.4.，求.解：因为，运用莱布尼茨公式得35--.5.设，求.解：6.求下列函数的n阶导数

9、：（1）；（2）；（3），求；（4）.解：（1）（2），，（3），，则（4）习题2--41.求下列隐函数的导数：（1）；（2）；（3）；35--（4）；（5）．解：（1）方程两边对x求导得：解得：（2）方程两边对x求导得：，解得：（3）方程两边对x求导得：，解得：（4）方程两边对x求导得：，解得：（5）方程两边对x求导得：解得：2．用对数求导法求下列函数的导函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解：（1）等号两边分别对x求导：35--（2）,等号两边分别对x求导：即（3）等号两边分别对x求导：，即（4），等号两边分别对x求导：，即（5），等

10、号两边分别对x求导：，即3、求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）方程两边对x求