《线性代数》第7章习题解答new.doc

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1、习题七（P274－276）1．设，以下哪些函数定义了的一个内积？（1），否（2），是（3），否（4），否2.以下哪些函数定义了上的一个内积.（1）（）（2）（）（3）（√）（4）（）（5）（√）3．设是正定矩阵，在中对任两个向量，，定义，证明：在这个定义下构成欧氏空间，并写出这个空间的柯西——施瓦兹不等式.证明：（1）（2）（3）设：（4）由的正定性知，当且仅当时，，即，从而在定义下构成欧氏空间。又.柯西——施瓦兹不等式为4．在中，求之间的夹角（内积按对应分量乘积之和）.（1）（2）解：（1）（2），从而5．在中求一单位向量与正交.解：设所

2、求向量为，应有：解之得：，又，得：，3．把向量组标准正交化（内积为对应分量乘积之和）：,,。解：，取：，，取，，即为所求。4．次数不超过3的所有实系数多项式，根据构成一欧氏空间，试求它的一个标准正交基（由基出发作正交化）。解：为欧氏空间的一个基，现将其标准正交化.，（此处），取：，，；取，，；，；即为所求.5．求齐次线性方程组：的解空间（作为的子空间）的一组标准正交基。解：解方程组，得解空间的一组基，,,。将其标准正交化：，取，；取，；即为所求.3．设是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明：,,也是一组标准正交基。证明：，为单位向量，又：，类

3、似有：，两两正交.从而为三维欧氏空间中一组标准正交基.4．设是欧氏空间的向量，且可以由线性表示，证明若与每一个正交，则.证明：由可以由线性表示得知，存在一组数使又与正交，，从而。5．在欧氏空间V中，，如果任意有，证明：。证明：对任意，即，由10知，从而.6．设是由生成子空间，则向量垂直充要条件为垂直.证明：必要性显然，只需证充分性.对任意，可由线性表示，即存在，使：.，，从而.13．设是一维欧氏空间，是中一固定向量。证明：（1）是的子空间；（2）的维数等于.证明：（1）对任意，，对任意常数，，从而为的子空间。（2）由定理4知可扩充为的一组正

4、交基，易知：。对任意，可由线性表示。即存在使，又，知，即：，故即可由线性表示。为的一组基。14．一组数据如下：在最小二乘意义下，求最佳拟合直线方程.解：设所求直线方程为，将值代入得：，，,,,最佳拟合直线方程为.15．求下列方程的最小二乘解（保留三位有效数字）。解：，，，最小二乘解：。