线性代数第3章习题解答

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1、第三章线性方程组基本概念及学习要求1.掌握向量的概念；2.理解向量的线性组合与线性表示、向量的线性相关与线性无关等概念，会利用相关定理判定一个向量能否由一个向量组线性表示、向量组是线性相关或是线性无关，特别是会利用矩阵的秩来判别向量组是否线性相关；3.准确理解向量组的极大线性无关组及向量秩的概念及相关定理，会求向量组的极大线性无关组和秩；4.掌握线性方程组有解的条件，理解线性方程组的高斯消元法，熟练掌握含参数线性方程组的求解技巧；5.熟悉齐次线性方程组解的结构，熟练掌握齐次线性方程组基础解系的求法

2、；6.熟悉非齐次线性方程组解的结构，熟练掌握非齐次线性方程组通解的求法．释疑问题含参数的线性方程组如何求解?解系数矩阵和增广矩阵含有参数的线性方程组称为含参数线性方程组．因为参数的不同取值必定会影响到方程组的有解性以及有多少个解，因而含参数线性方程组必须对参数取值加以讨论．求解含参数线性方程组时通常有以下两种方法：方法1对线性方程组的增广矩阵用初等行变换的方法化为阶梯形矩阵，然后根据是否成立，讨论参数取何值时线性方程组的有解性．方法2当方程的个数与未知量个数相同时，可以先利用克拉默法则，即计算系数

3、行列，对于使得的参数值，方程组有唯一解．而对于使得的参数值，可列出增广矩阵，然后用初等行变换将其化为阶梯形矩阵进行讨论．因此，这里需要特别值得注意的是，当线性方程组所含方程个数与未知量个数不相等时，只能用方法1进行求解．§3.1向量组及其线性组合3.问：向量是否为向量组的线性组合？解不妨设，这就是要问线性方程组111请注意，方程组中白色字体部分是无效的，即只有黑色字体部分才是有效的。是否有解．显然此方程无解，因此不是的线性组合．4.设，问：向量是否为向量组的线性组合？如果是，求一组组合系数．解不妨

4、设，这就是要问线性方程组请注意，方程组中白色字体部分是无效的，即只有黑色字体部分才是有效的。（3.2）是否有解，而且有解时其解就是组合系数．易知，方程组（3.2）的系数行列式，故方程组（3.2）有唯一解．因此，是向量组的线性组合．再求组合系数即求方程组（3.2）的解．由克拉默法则知，方程组（3.2）的唯一解为：，从而有．　5.设向量组(Ⅰ)，向量组(Ⅱ)，试求:(1)向量组(Ⅱ)由向量组(Ⅰ)线性表示式.(2)向量组(Ⅰ)由向量组(Ⅱ)线性表示式.解(1)因为向量组(Ⅱ)由向量组(Ⅰ)线性表示，设

5、，，为线性表示系数矩阵，则有.由于，故可逆，，因此，下求.对作初等行变换如下:，111所以，从而向量组(Ⅱ)由向量组(Ⅰ)线性表示式为:请注意，方程组中白色字体部分是无效的，即只有黑色字体部分才是有效的。(2)因为可逆，由可得，从而向量组(Ⅰ)由向量组(Ⅱ)线性表示式为:§3.2向量组的线性相关性1.设，，，(1)问为何值时，向量组线性相关；(2)问为何值时，向量组线性无关；(3)当线性相关时，将表示为的线性组合．解设有数，使得，即有请注意，方程组中白色字体部分是无效的，即只有黑色字体部分才是有效

6、的。此齐次方程组的系数行列式111．(1)当，即时，方程组有非零解，所以线性相关；(2)当，即时，方程组仅有零解，所以线性无关；(3)当时，设，可解得，，于是2．(3)当时，设，有可解得，，于是2．2.设向量组线性无关，问常数满足什么条件时，向量组线性无关．解设有常数，使得，整理得．因为线性无关，故有请注意，方程组中白色字体部分是无效的，即只有黑色字体部分才是有效的。当方程组的系数行列式，即时，上述方程组只有零解，这时向量组线性无关．3.设为维向量，且向量组线性无关，证明向量组线性无关．证设有常数

7、，使得①为了利用已知条件，令，111解得．代入①式得整理得已知线性无关，故有请注意，方程组中白色字体部分是无效的，即只有黑色字体部分才是有效的。因为该方程组的系数行列式，故该方程组仅有零解，即式当且仅当时成立，说明线性无关．§3.3向量组的秩1.已知向量组：，：，证明：组能由组线性表示,但组不能由组线性表示．证设,由111，知，所以组能由组线性表示．由，知．因为所以组不能由组线性表示．3.求向量组的一个极大无关组，并把其余向量都用极大无关组表示出来．(3)，，，，．解：以为列构成一矩阵，即，然后对

8、其作初等行变换，，．矩阵与的列向量组有完全相同的线性关系，从而由可知：为的一个极大无关组；++，+．1113.4线性方程组的解的结构1.用消元法解下列线性方程组：(2)请注意，方程组中白色字体部分是无效的，即只有黑色字体部分才是有效的。解对方程组的增广矩阵作行初等变换，有，故有同解方程组设为非自由未知数，为自由未知数，有令所以方程组的通解是写成向量形式为其中．1112.取什么值时，线性方程组有解？在有解的情形，求一般解．解对方程组的增广矩阵行作初等变换：，易知，当或时，，此时原方程