《线性代数》第3章习题解答(rr).doc

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1、《线性代数》第三章习题解答1．已知向量：求解:∵∴2.设求解:∵∴3.判断下列命题是否正确，为什么？(1)如果当成立，则向量组线性相关解：不正确.如：，虽然但线性无关。(2)如果存在m个不全为零的数使则向量组线性无关。解：不正确.如(3)如果向量组不能由其余向量线性表出.解：正确。（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组线性相关，与题没矛盾。(4)如果向量组线性相关，则一定可由线性表示。解：不正确。例如：向量组线性相关，但不能由线性表示。(5)如果向量可由向量线性表示，即：则表示系数不全为零。解：不正确。例如：，表示系数全为0。(6)若

2、向量线性相关，线性无关，则线性相关.解：正确。因线性相关，即存在不全为零的数使-18-《线性代数》第三章习题解答.因不全为零，所以线性相关。4.判断向量能否由向量组线性表示，若能，写出它的一种表示方式。(1)，解：显然(2)，解：设对方程组的增广矩阵作初等行变换，得到：故(3)解:设，对该方程组的增广矩阵作初等行变换得到：因阶梯形矩阵所对应的方程组中存在矛盾方程，故方程组无解。(4)解：设，对该方程组的增广矩阵作初等变换得到：-18-《线性代数》第三章习题解答5.证明：如果n维单位坐标向量组可由n维向量组线性表示，则向量组线性相关。证：,向量组与向

3、量组等价，所以向量组的秩为n，所以线性无关。6.若向量组线性无关，证明：向量组也线性无关。证：设有常数使7.判断下列向量组是否线性相关，若线性相关，试找出其中一个向量，使这个向量可由其余向量线性表示，并写出它的一种表示方式。(1)解：以为列向量作矩阵作初等行变换得到：显然(2)解：令对A作初等行变换，得到：-18-《线性代数》第三章习题解答故R(A)=R(B)=3.线性相关。且由(2)解：令解方程组AX=0，其中X=,对系数矩阵A作初等行变换得到：由得同解方程组,线性相关。(3)解：令对A作初等行变换得到：∴R(A)=R(B)=3,线性无关。8.求下

4、列向量组的秩，并求出一个极大无关组。(1)解：令对A作初等行变换，得到：∴R(A)=R(B)=2,向量组的秩为2,是一个极大无关组。(2)解：线性相关，线性相关。而线性无关。∴向量组的秩是3。是一个极大无关组。-18-《线性代数》第三章习题解答(3)解：令对A作初等行变换，得到：显然R(A)=R(B)=3.向量组的秩是3,并且是向量组的一个极大无关组。(1)解：令对A作初等行变换，得到：显然R(A)=R(B)=2.向量组的秩是2,并且是一个极大无关组。9.设向量组线性无关，，证明：(1)当时，线性相关；(2)当时，线性无关证明：(1)当时，，线性相关

5、。(3)当时，设有常数，使线性无关，10.设证：(i)若线性无关，设有常数因线性无关，因方程组一定有非零解，线性相关。(ii)若线性相关，不妨设，于是：-18-《线性代数》第三章习题解答由此可知，线性相关。11．n个n+1维向量是否线性相关？解：∵n维单位坐标向量组线性无关，而无关组增添分量仍无关，∴向量组线性无关。12.设是一组n维向量，证明：它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量都可由它们线性表示。证：必要性：若向量组线性无关，则对任一n维向量，向量组线性相关，故一定可由线性表示。充分性：若任一n维向量均可由向量组线性表示，则n维单位坐标向量

6、组可由线性表示，又可由线性表示，∴向量组与向量组等价，∴向量组的秩是n，∴线性无关。13.试证：若向量组与向量组有相同的秩，则可由线性表示。证：设向量组的秩为r，不失一般性，设(r1r)为向量组的极大无关组，则与等价，依题设向量组的秩也为,故也是的极大无关组，可由线性表示，进而，可由线性表示。14.设是互不相同的r个非零实数，，证明：(1)向量组线性无关.(2)任一r维向量都可由线性表示.证：令则A的前r行元素组成的r阶子式-18-《线性代数》第三章习题解答故R(A)=r,线性无关.(2)对任一r维向量，向量组线性相关.而线性无关，可由线性表示.15

7、.设A为n阶方阵，为n维列向量，(1)证明：若线性相关，则也线性相关；(2)问：若线性无关，是否也线性无关，为什么？。(1)证明：若线性相关，即存在不全为零的常数，使从而有：不全为零，线性相关。(2)不一定线性无关。如当A=E，则线性无关，若A=0，则线性相关。16.试证：设A是n阶方阵，则证：(i)若R(A)=n，则，由，得到，，.(ii)如果R(A)=n-1，则A的列向量组线性相关，其中必有一列向量是组中其余向量的线性组合，不妨设：据行列式的性质可知，A的第2列至第n列元素的代数余子式全为0，R(A)=n-1，∴A的第1列元素的代数余子式中至少有一

8、个不为0.由此得到的第1行元素不全为零，而第2行至第n行元素全为0，(iii)若R(A)