计算方法复习题.doc

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1、1、对下面的计算式做适当的等价变换，以避免两个相近的数相减时的精度损失。（1），其中x较大（2），其中x较大（3），其中（3）解：（1）（2）（3）（4）2、已知函数方程有一正根，请完成以下几方面的工作：（1）分析并选定一个含有这一正根的区间[a0,b0]，以便于用二分法求解；（2）验证在[a0,b0]上用二分法求根的可行性，并计算逐步缩小的区间[a1,b1]和[a2,b2]；（3）若考虑用简单迭代法求此根，试构造一个在[a0,b0]上能保证收敛的迭代式。解：（1）把方程的根看成y=3-x和y=ln(x)的交点，经分析可取含根区间[1.0,3.0]（2）经验算可得f(

2、1.0)*f(3.0)<0，另f’(x)在[1.0,3.0]上不变号，f(x)单调，二分法可行（3）迭代式从迭代收敛定理两方面作完整讨论，知迭代式能保证收敛3、用Doolittle分解法求解线性方程组（要求写明求解过程）。解：（1）先对系数矩阵A作LU分解得A=LU=（2）由LY=B解出Y=(4,4,3/5)T，由UX=Y解出X=(1,1,1)T4、关于某函数y=f(x)，已知如下表所示的一批数据x0.00.51.01.52.0y1.001.652.724.4812.18（1）由上表中的数据构建差商表，并求出各阶差商；（2）分别用二点、三点牛顿插值法计算f(0.75)

3、的近似值；（3）若用来拟合这一批数据，试求出系数a和b（提示：两边取自然对数得lny=lna+bx，令u=lny，问题转化为求拟合直线u=lna+bx）；（4）分别用复化梯形积分和复化辛普森积分计算的近似值。解：（1）构造差商表如下x0.00.51.01.52.0f(x)1.001.652.724.4812.18一阶差商1.302.143.5215.40二阶差商0.841.3811.88三阶差商0.367.00四阶差商3.32（2）二点牛顿插值计算N1(0.75)=1.65+2.14(0.75-0.5)=2.185三点牛顿插值计算N2(0.75)=N1(0.75)+(

4、1.38)(0.75-0.5)(0.75-1.0)=2.09875（3）令，计算=5，=7.5，=5，=7.5，解下面方程组：第页共页得a=1，b=1，故有（4）分别用复化梯形积分公式和复化辛普森积分公式计算5、若用Jacobi迭代法求解线性方程组：（1）能否从系数矩阵判定Jacobi迭代求解是收敛的？请说明原因；（2）写出经过等价变换而得到的Jacobi迭代格式；（3）求出迭代矩阵B的行范数和列范数，并说明B能否保证收敛。6、用规范化幂法求矩阵的按模最大特征值，使误差不超过。初始向量取为V(0)=(1,1)T。（另：若给出规范化幂法迭代计算的向量序列，你是否掌握根据

5、向量序列的收敛情况计算按模最大特征值和特征向量的方法。）7、用改进欧拉法求初值问题在区间[0.0,1.0]上的解，取步长h=0.2。计算结果保留到小数点后面3位。8、）对于函数，按下面两种方法计算的近似值，分别讨论两个结果的绝对误差限和有效数字的位数，并说明产生差别的原因。（特别注意：计算过程按四位舍入法进行。例如，）（1）直接按表达式计算；（2）按等价变换式计算。8、答题要点精确值f(1000)=0.1580743…*102。（1）f1(1000)»1000*(0.3164-0.3162)*102=0.2*102，与精确值比较得绝对误差限e1=0.5*101，得有效

6、数字位数为1位；（2）f2(1000)»1000/(0.3164*102+0.3162*102)»0.1581*102，与精确值比较得绝对误差限为e2=0.5*10*10-2,得有效数字的位数为4位。原因在于直接按表达式计算时两个相近的数相减导致有效数字位数减少而误差增大9、已知函数方程在区间[2，3]上有根（令a0=2，b0=3）：（1）验证在此区间用上用二分法求根的可行性，并计算逐步缩小的区间[a1,b1]和[a2,b2]；（2）若用简单迭代法求此根，试分析并构造一个在[a0,b0]上能保证收敛的迭代式。（3）分析用牛顿迭代法求此根的可行性，并自己取初值x0，完成

7、第1次迭代计算。10、分别用Gauss消元法和Doolittle分解法求解线性方程组。11、关于某函数y=f(x)，已知如下表所示的一批数据第页共页x0.00.51.01.52.0y1.001.493.015.488.99（1）由上表中的数据构建差商表，并求出各阶差商；（2）分别用二点、三点牛顿插值法计算f(1.25)的近似值；（3）分别用复化梯形积分和复化辛普森积分计算的近似值。（4）若用y=a+bx2来拟合这一批数据，试求出系数a和b（提示：令v=x2，问题转化为求拟合直线y=a+bv）；（请注意其它曲线拟合的线性转换问题）12、验算用辛普森积分