《计算方法》复习题-1

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1、第一章绪论．43．第一章绪论复习题例1计算，取，采用下列算式计算：（1）；（2）；（3）；（4）。问哪一个得到的结果最好？解显然所以，这4个算式是恒等的，但当取计算时，因为（2），（3）都涉及到两个相近数相减，使有效数字丢失，而（1）在分母算式上的乘幂数比算式（4）大，所以算式（4）最好。事实上，当取时，有，再由的误差也可直接估计出每个算式的误差，显然，算式（4）误差最小。具体计算可得：（1）；第一章绪论．43．（2）；（3）；（4）。比较可得用第（4）个算式所得的结果更接近于。例1.8建立积分的递推关系式，并研究它的误差传递

2、。解由和可建立下列递推公式(*)计算出后，由递推关系式可逐次求出的值。但在计算时有舍入误差，因此在使用递推关系式中，实际算出的都是近似值。即现在来研究误差是如何传递的。设有误差，假设计算过程中不产生新的舍入误差，则由(*)式可得从而有第一章绪论．43．即原始数据的误差对第步的影响使该误差扩大了倍。当较大时，误差将淹没真值，因此递推公式(*)是数值不稳定的。现在从另一方向使用这一公式(**)只要给出的一个近似值，即可递推得到，类似于上面的推导可得每递推一步误差缩小到原值的，所以递推公式(**)是数值稳定的。由于时，所以有估计式于

3、是取可得另一算法：由此可见，对于同一数学问题，使用的算法不同，效率也大不相同，只有选用数值稳定性好的算法，才能求得较准确的结果。第一章绪论．43．基于Mathematica的数值计算实例例1计算有位有效数字的近似值，并列表。解Mathematica程序：Table[{N[E,n],N[Pi,n]},{n,1,10}];TableForm[%]运行结果：3.3.2.73.12.723.142.7183.1422.71833.14162.718283.141592.7182823.1415932.71828183.14159272

4、.718281833.141592652.7182818283.141592654例2用程序计算有位有效数字的近似值。解Mathematica程序：Table[{N[Sqrt[1500],n],N[12^(1/6),n]},{n,10,15}];TableForm[%]运行结果：38.729833461.51308574938.7298334621.513085749438.72983346211.5130857494238.729833462071.51308574942338.7298334620741.513085749

5、422938.72983346207421.5130857494229例3计算的近似值。解Mathematica程序：{Cos[75.5Degree],ArcTan[34.7Degree],Log[5,79]}//N;TableForm[%]运行结果：0.250380.5445482.71489第一章绪论．43．例4二项式系数定义为，利用该定义计算。解Mathematica程序：CC[n_,k_]:=n!/(k!*(n-k)!)CC[50,36]运行结果：937845656300例5分别给出前20个素数及第100个素数。解Ma

6、thematica程序：Table[Prime[n],{n,1,20}]Prime[100]运行结果：前20个素数：{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71}第100个素数＝541例6用秦九韶法计算在处的值，并验证之。解Mathematica程序：a[k_]:=k+1;s[8]=a[8];s[k_]:=x*s[k+1]+a[k];x=2;s[0]运行结果：4097。第二章插值与拟合复习题例2.1插值函数作为被插函数的逼近，可以用作函数值的近似计算。已知，构

7、造二次拉格朗日插值多项式。第一章绪论．43．（1）计算；（2）估计误差并与实际误差相比较。解（1）以插值点(27,3),(64,4),(125,5)代入插值公式，得=(2)由误差公式有记在[27，125]上是单调递减函数。实际误差：。例2.2已知sin0.32＝0.314567，sin0.34＝0.333487，sin0.36＝0.352274，用线性插值及抛物插值计算sin0.3367的值并估计截断误差。分析题目中相当于告诉了插值条件。考虑到0.3367位于0.32与0.34之间，根据插值法的特点，线性插值时，取0.32和0

8、.34作为插值节点；抛物插值时，三个点全取。由于一次、二次插值函数表达式较简单，可采用牛顿型公式，误差估计用拉格朗日型余项表达式。第一章绪论．43．解用线性插值计算，，，则sin0.3367≈＝＝0.314567＋其截断误差限为其中，于是　　　　　　0.92用抛物插值计算，有