Parseval等式的应用以及Fourier积分.doc

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1、（一）Parseval等式的推导P323第18题（即ex10.1的第18题）：利用Parseval等式以及f(x)的傅里叶级数可以求得很多数项级数的和。(二).迪利克雷（Dirichlet）收敛定理：设以为周期的函数f(x)在任何有限区间上逐段光滑，则有特别地，（1）若以为周期的函数f(x)在任何有限区间上逐段光滑且是奇函数，则有（2）若以为周期的函数f(x)在任何有限区间上逐段光滑且是偶函数，则有(3)设以为周期的函数f(x)在R上处处连续并且在任何有限区间上逐段光滑，则上述的每个f(x)的Fourier级数在R上处处绝对且一致收

2、敛于f(x).（三）巴塞瓦尔（Parseval）等式（1）若以为周期的函数f(x)在任何有限区间上逐段光滑且是中的可积且平方可积函数（如连续函数），则由上述（付氏级数的巴塞瓦尔等式）（正弦级数的巴塞瓦尔等式）（余弦级数的巴塞瓦尔等式）(四).迪利克雷（Dirichlet）收敛定理：设以为周期的函数f(x)在任何有限区间上逐段光滑，则有特别地，（1）若以为周期的函数f(x)在任何有限区间上逐段光滑且是奇函数，则有（2）若以为周期的函数f(x)在任何有限区间上逐段光滑且是偶函数，则有(3)设以为周期的函数f(x)在R上处处连续并且在任何

3、有限区间上逐段光滑，则上述的每个f(x)的Fourier级数在R上处处绝对且一致收敛于f(x).（五）巴塞瓦尔（Parseval）等式（1）若以为周期的函数f(x)在任何有限区间上逐段光滑且是中的可积且平方可积函数（如连续函数），则由上述(六).上函数f(x)的傅里叶级数、正弦级数与余弦级数1.上函数f(x)的傅里叶级数：先将f(x)作的周期开拓到整个数轴上，将开拓后的周期函数h(x)展成傅里叶级数，然后将x限制在上，就得到了上函数f(x)的傅里叶级数.其中，2.上函数f(x)的傅里叶正弦级数：先将f(x)作奇开拓到上，再作的周期开

4、拓到整个数轴上，将开拓后的周期函数h(x)展成傅里叶级数，然后将x限制在上，就得到了上函数f(x)的傅里叶正弦级数.3.上函数f(x)的傅里叶余弦级数：先将f(x)作偶开拓到上，再作的周期开拓到整个数轴上，将开拓后的周期函数h(x)展成傅里叶级数，然后将x限制在上，就得到了上函数f(x)的傅里叶余弦级数.（七）贝塞尔（Bessel）不等式若以为周期的函数f(x)在任何有限区间上逐段光滑且是中的可积且平方可积函数（如连续函数），则有贝塞尔（Bessel）不等式：（八）例题于是于是（九）f(x)的Fourier积分公式：如果函数f(x)

5、定义在整个数轴上，并且绝对可积，在任何有限区间内逐段光滑，则f(x)有下面的Fourier积分公式：