一般可积函数的Parseval等式

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1、探索闭区间上一般可积函数的Parseval等式一、探索上可积函数的三角多项式最小方差逼近设为上的可积函数，，，为的傅里叶系数，记，（称为以为周期的三角多项式函数），则均方差，当，，（），时，达到最小，最小值为。提示：经简单地计算可得，，，。于是，二、按下面的步骤探索上可积函数的Parseval等式1、设在上可积，且，则存在上的连续的折线函数列，使得，，，且，从而。提示：首先，利用可积的第二充要条件推出，对任意，存在的分割：，使得。其次，在中再插入分点，使得。记，为分割增加分点所得的分割，则；第三，先用直线段顺次连接函数的图像上对应于

2、分割的分点，，，，的点，再用直线段连接点和，得连续的折线函数（如下图所示），易见满足：，。注意到得出，。最后，注意到得出。2、设为上的连续的折线函数，满足：，则存在三角多项式函数列，使得在上一致收敛于。提示：利用Weierstrass三角多项式逼近定理即可。3、设在上可积，且，则存在上的三角多项式函数列，使得，。提示：利用1可得，存在上满足：，，的连续的折线函数列，使得，。利用2可得，对每个，存在三角多项式函数，使得，在上，，再注意到可得，。4、利用3并结合“一”可得：设在上可积，则，（称为关于上可积函数的Parseval等式）。提

3、示：利用3可得，存在上的三角多项式函数列，使得，。再注意到“一”，，即可。5、设在上可积，试探索下面的等式：（称为关于上可积函数的Parseval等式），其中，，（）。提示：令，则，在上可积。记，，（）为的傅里叶系数，利用4可得，。注意到，，，，，即可。6、利用5探索一般区间上可积函数的Parseval等式的形式。提示：令，作平移变换，将函数变为上的可积函数。利用5可得，，其中，，。注意到，，，可得，，其中，，。