2012年上半年线性代数练习题.doc

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1、2012年上半年线性代数复习题一、填空题1、若，则。2、设矩阵，其中，则。3、设，，则；。4、设为阶方阵的一个特征值，则的一个特征值为。（其中　为阶单位矩阵）5、设，则它们线性。6、设，则它们线性。7、设矩阵，则矩阵的秩。8、设为阶方阵，且，则；。9、设，其中，则。10、已知三阶方阵的特征值为，则的特征值为；的特征值为；的特征值为。11、设向量组线性无关，则满足。12、二次型的矩阵是。13、当时，向量组线性相关。14、已知矩阵的特征值为，则。15、已知是矩阵的一个特征值，则。16、设行列式其第3行各元素的代数余子式之和为__________.17、设方程组有非零解，且数则_______

2、___.18、设3阶方阵A的秩为2，且则A的全部特征值为__________.19、设矩阵有一个特征值对应的特征向量为则数a=__________.20、设A是m×n矩阵，r(A)=r,则Ax=0的基础解系中含解向量的个数为__________．一、计算题1、设矩阵，（1）求的特征值和特征向量；（2）判断能否相似对角化，若可以，写出可逆矩阵及对角矩阵，使得。2、设矩阵，（1）求的特征值和特征向量；（2）判断能否相似对角化，若可以，写出可逆矩阵及对角矩阵，使得。3、设3元线性方程组,（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（

3、要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.4、问a为何值时，线性方程组有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）。5、设向量组：.求向量组的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示,6、设向量组求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过极大线性无关组表示出来．7、用配方法化二次型为标准型，写出所用的线性变换矩阵8、.计算行列式9、计算4阶行列式D=.10、求解矩阵方程X=11、.计算5阶行列式D=12、已知矩阵A=，B=.（1）求A-1；（2）解矩阵方程AX=B。13、.用配方法求二次型的标准形，并写出相应的线性变换。

4、三、证明题1、已知，，线性无关，证明：，，线性无关。2、设线性无关，试证明线性相关。3、设阶方阵满足，证明可逆，并求。4、设方阵满足，证明方阵均可逆并求其逆。5、若α1，α2，α3是Ax=b(b≠0)的线性无关解，证明α2-αl，α3-αl是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解.