《线性代数》练习题-w.doc

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1、《线性代数与解析几何》练习题行列式部分一．填空题：1．若排列是偶排列，则2．已知是五阶行列式中的一项，且带正号，其中（则3．设是n阶可逆阵，且，则，（为常数）4．已知用表示D的元素的代数余子式，则，，行列式5．设有四阶矩阵，其中均为4维列向量，且已知行列式，则行列式6．设则7．设上述方程的解8．设A是阶方阵，且A的行列式，而是A的伴随矩阵，则9．若齐次线性方程组只有零解，则应满足条件。二．计算题：1．已知5阶行列式求和，其中是元素的代数余子式。解：2．计算行列式。解：3．设是阶方阵，，且，求。解：1．设是阶实对称矩阵，，若，求。解：相似于对角阵，．而r(A)=k,所以。对于矩阵A+3I,有一

2、个，以及一个，2．计算解：矩阵部分一．填空题：1．设三阶方阵A，B满足，且，则。2．设，其中，则矩阵A的秩=1.3．设A是的矩阵，且A的秩为2，而，则（）4．已知a=[1,2,3],b=[],设A=，则（）5．设矩阵则逆矩阵6．设，B为三阶非零矩阵，且AB=O，则7．设四阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵的秩为0。1．设A，B均为阶矩阵，，则2．设A是三阶方阵，是A的伴随矩阵，，则（）。10．设A，C分别为阶和阶的可逆矩阵，则分块矩阵的逆矩阵11．设阶方阵A满足方程，则A的逆矩阵（）12．设，而为正整数，则13．设A，B是阶矩阵，且AB=A+B，则（）二．选择题：1．设阶矩阵A，B，C满足关系式

3、ABC=E，其中E是阶单位矩阵，则必有（D）（A）ACB=E（B）CBA=E（C）BAC=E（D）BCA=E2．设A是阶方阵，是A的伴随矩阵，又为常数，且，则必有=（B）3．设A是阶可逆矩阵，是A的伴随矩阵，则有（A）4．设则必有（C）5．设A，B均为阶方阵，则必有（D）（A）（B）（C）（D）6.设维向量,矩阵,其中为阶单位矩阵,则(C)(A)0(B)–I(C)I(D)7.设A是阶可逆矩阵，是A的伴随矩阵,则(C)(A)(B)(C)(D)8.设阶矩阵,若矩阵A的秩为,则必为(B)(A)1(B)(C)–1(D)9.设均为阶可逆矩阵,则等于(C)(A)(B)(C)(D)二．计算题：1．已知，求

4、（是自然数）解：由归纳法，1．已知AP=PB，其中，求：及。解：3．已知阶方阵求A中所有元素的代数余子式之和。解：2．已知矩阵满足：，其中，求矩阵。解：5．设矩阵，满足其中是A的伴随矩阵，求矩阵B。解：1．已知，且，其中为三阶单位矩阵，求矩阵。解：2．设阶方阵，求。解：故时，；时，r(A)=n-1;当a≠1且a≠1-n时,r(A)=n二．证明题：1．设A是阶非零方阵，是A的伴随矩阵，是A的转置矩阵，当时，证明。证明：另证（反证法）：与题设矛盾。2．设是阶方阵，若，证明：（其中是A的伴随矩阵）证明：3．设，为的代数余子式，且，求证：证明：4．用矩阵秩和向量组秩的关系证明证明：设，即的列皆由的列

5、线性表示，故类似可证的行皆由的行线行表示，所以。5．设为矩阵，为矩阵，若，证明证明：所以，即为齐次线性方程组的解，因此可由的基础解系线性表示，所以，即。1．设A是阶方阵，是A的伴随矩阵，证明：秩证明：(1)可逆，而可逆，（2），又A至少有一个n-1阶子式不为零，，从而（3）的所有n-1阶子式全为零。故，从而。空间向量与线性方程组部分一．填空题：1.设则2.点在平面上的投影点是（将其代入可得）1．过原点及点且与平面垂直的平面方程是2．平面上的直线绕轴旋转一周所得旋转曲面方程为3．曲线在平面上的投影曲线为4．已知向量组，则该向量组的秩.7．设阶矩阵的各行元素之和均为零，且的秩为，则线性方程组的通

6、解为8．已知向量组的秩为2，则.9．若线性方程组有解，则常数应、满足条件。（）10．若向量组（）可由向量组（）线性表示，则秩（）秩（）。二．选择题1．设直线，平面，则（B）（A）与平行（B）与垂直（C）在上（D）与斜交2．已知是非齐次线性方程的两个不同的解，是对应的齐次线性方程组的基础解系，为任意常数，则方程组的通解必是（B）1.使，都是线性方程组的解，只要系数为（A）4．已知向量组线性无关，则向量组（C）线性无关5．设是矩阵，是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（D）若仅有零解，则有唯一解若有非零解，则有无穷多个解若有无穷多个解，则仅有零解若有无穷多个解，则有非零解

7、6．设有向量组，，，，则该向量组的极大线性无关组是（B）7．非齐次线性方程组中未知量个数为，方程个数为，系数矩阵的秩为，则（A）时，方程组有解时，方程组有唯一解时，方程组有唯一解时，方程组有无穷多解8．若向量组线性无关；线性相关，则（C）必可由线性表示必不可由线性表示必可由线性表示必不可由线性表示9．设向量可由向量组线性表示，但不能由向量组：线性表示，记向量组Ⅱ：，则（B）不能由线性表示，也不能由Ⅱ线性表示不