中考数学压轴题专集四二次函数和其综合4.doc

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1、中考数学压轴题专集四：二次函数及其综合4（贵州安顺）已知直线y＝ax＋b与抛物线y＝ax2＋bx交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C的坐标为（a，b）．（1）若点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3），则点C的坐标为____________；（2）若抛物线y＝ax2＋bx如图所示，请在所给图中标出A、B两点的位置；（3）设抛物线y＝ax2＋bx的对称轴与x轴交于点D，直线y＝ax＋b与y轴于点E，点F的坐标为（1，0），且DE∥CF．①若点C在直线y＝－4x上，求C、D两点坐标；xOEy备用

2、图②当＜tan∠ODE＜2时，求b的取值范围．xOEy1（1）（3，0）提示：∵点A（0，0）在直线y＝ax＋b上，∴b＝0∴y＝ax，把B（1，3）代入，得a＝3∴C（3，0）xOEyBA1（2）A、B两点的位置如图所示提示：令ax＋b＝ax2＋bx，即x(ax＋b)－(ax＋b)＝0∴(ax＋b)(x－1)＝0，∴x1＝1，x2＝－当x＝1时，y＝a＋b；当x＝－时，y＝0∵点A在点B的左侧，∴A（1，a＋b），B（－，0）（3）①∵点C（a，b）在直线y＝－4x，∴b＝－4a∴抛物线y＝ax2＋

3、bx的对称轴为x＝－＝2∴点D的坐标为（2，0）∵点F的坐标为（1，0），∴DF＝1∵直线y＝ax＋b与y轴于点E，∴E（0，b）xOEyBACEDF∵C（a，b），∴CE∥DF∵DE∥CF，∴四边形DECF为平行四边形∴CE＝DF＝1∴a＝－1∴点C的坐标为（－1，4）②tan∠ODE＝＝＝

4、2a

5、∵＜tan∠ODE＜2，∴＜

6、2a

7、＜2∴＜

8、a

9、＜1，∴＜a＜1或－1＜a＜－∵四边形DECF为平行四边形∴CE＝DF＝－－1＝－a∴b＝2a2－2a＝2(a－)2－这个二次函数的图象开口向上，对称轴为

10、a＝由二次函数图象的性质可知：当＜a＜1时，a＝时b有最小值－；a＝1时b有最大值0∴－≤b＜0当－1＜a＜－时，a＝－时b有最小值；a＝－1时b有最大值4∴＜b＜4综上所述，－≤b＜0或＜b＜4（贵州毕节）如图，抛物线y＝－x2＋6x＋m与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）若AB＝4，求抛物线的解析式；（2）若在第一象限内的抛物线上总存在不同的两点E、F，过点E、F分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，使得△OEG与△OFH全等，求m的取值范围；（3）在（1）的条件下，点Q

11、是y轴上的动点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PBQ∽△ABC？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．yxOBACyxOBAC备用图（1）令y＝0，即－x2＋6x＋m＝0，解得x＝3±∵点A在点B的左侧，∴A（3－，0），B（3＋，0）∴AB＝3＋－(3－)＝2∵AB＝4，∴2＝4，∴m＝－5∴抛物线的解析式为y＝－x2＋6x－5（2）由于G、H是直角顶点，若△OEG与△OFH全等，G、H必须对应若OEG≌OFH，显然E、F重合，不合题意∴只能△EOG≌△OFHyxEFOHG

12、设E（a，b），则F（b，a），其中a＞0，b＞0，a≠b∵E、F两点在抛物线y＝－x2＋6x＋m上∴①－②得：b2－a2＋7(a－b)＝0即(a－b)(a＋b－7)＝0∵a≠b，∴a＋b＝7即b＝7－a，代入①得：－a2＋6a＋m＝7－a∴a2－7a＋7－m＝0同理，b2－7b＋7－m＝0∴a，b是方程x2－7x＋7－m＝0的两个不相等的实数根∴△＝(－7)2－4(7－m)＞0，∴m＞－∵a＞0，b＞0，∴7－m＝ab＞0，∴m＜7∴－＜m＜7（3）由（1）知，A（1，0），B（5，0），C（0，5

13、）yxOBAPCQD∴OB＝OC＝5，∴BC＝5，∠BCO＝∠OBC＝45°①若点P在x轴上方，连接PA∵△PBQ∽△ABC，∴∠PBQ＝∠ABC，＝∴∠PBA＝∠CBQ，∴△PAB∽△QCB∴∠BAP＝∠BCQ＝45°作PD⊥AB于D，则AD＝PD设P（x，－x2＋6x－5），则AD＝x－1∴x－1＝－x2＋6x－5，解得x1＝1（舍去），x2＝4∴P1（4，3）∴PA＝3∵△PAB∽△QCB，∴＝∴＝，∴QC＝，∴QO＝∴Q1（0，）xyPOBACQC′②若点P在x轴下方作点C关于x轴的对称点C′

14、，连接AC′、BC′、AP则△ABC′≌△ABC∵△PBQ∽△ABC，∴△PBQ∽△ABC′∴∠PBQ＝∠ABC，＝∴∠PBA＝∠CBC′，∴△PAB∽△QC′B∴∠BAP＝∠BC′Q＝∠BCO＝45°作PD⊥AB于D，则AD＝PD设P（x，－x2＋6x－5），则AD＝x－1∴x－1＝－(－x2＋6x－5)，解得x1＝1（舍去），x2＝6∴P2（6，－5）∴PA＝5∵△PAB∽△QC′B，∴＝∴＝，∴QC′＝，∴QO＝∴Q2（0，－）（贵州铜仁）如图，抛