中考数学压轴题专集四二次函数和其综合3.doc

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1、中考数学压轴题专集四：二次函数及其综合3（福建福州）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过原点O，与x轴正半轴交于点A，OA＝4，点P为抛物线上的一个动点，过点P的直线y＝x＋m与抛物线的对称轴交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）若S△POQ＝S△PAQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D．求：①PD＋DQ的最大值；②PD·DQ的最大值．AOxy备用图AOxyAOxyPQFEB（1）∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过原点O∴c＝0，∴y＝x2＋bx∵点A在x轴正半轴上，OA＝4，∴A（4，0）∵抛物线y＝x2＋bx经过点A，∴42＋4b＝

2、0∴b＝－4∴抛物线的解析式为y＝x2－4x（2）设直线PQ交x轴于B，分别过O、A作PQ的垂线，垂足为E、F显然当点B在OA的延长线上时，S△POQ＝S△PAQ不成立当点B在线段OA上时＝＝AOxyPQFEB由△OBE∽△ABF得：＝＝∴AB＝3OB，∴OB＝OA＝1，∴B（1，0）∴1＋m＝0，∴m＝－1②当点B在AO的延长线上时同理可得OB＝OA＝2，∴B（－2，0）∴－2＋m＝0，∴m＝2综上所述，当m＝－1或2时，S△POQ＝S△PAQ（3）①过点C作CH∥x轴交直线PQ于H可得△CHQ是等腰直角三角形AOxyMHCDQP则∠CDQ＝90°，∴AD⊥PH∴DH＝DQ，∴PD＋DQ

3、＝PH过点P作PM⊥CH于M则△PMH是等腰直角三角形∴PH＝PM∴当PM最大时，PH最大当点P运动至抛物线的顶点时，PM最大，此时PM＝6∴PH的最大值为6即PD＋DQ的最大值为6②由①知PD＋DQ≤6设PD＝a，则DQ＝6－a∴PD·DQ≤a(6－a)＝－a2＋6a＝－(a－3)2＋18∵当点P在抛物线的顶点时，a＝3AOxyMHCDQPN∴PD·DQ≤18PD·DQ的最大值为18③延长PM交AC于N，设P（n，n2－4n）则PD＝PN＝[4－n－(n2－4n)]＝－(n－)2－∵－＜0，0＜n＜4∴当n＝时，PD有最大值∴0＜PD≤（福建龙岩）如图，点D在第一象限，以D为圆心的⊙D与

4、y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A、B两点，AB＝6，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、B、C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，连接BM，判断直线BM与⊙D的位置关系，并说明理由；（3）点P是抛物线上的动点，线段PA与线段BC相交于点Q，当PQ＝4AQ时，求点P的坐标．yDxCABOM（1）连接CD、DB，作DE⊥AB于EyDxCABOME则AE＝BE＝AB＝3∵⊙D与y轴相切于点C（0，4），∴DC⊥OC∴DE＝OC＝4∴OE＝CD＝DB＝＝＝5∴A（2，0），B（8，0）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、B、C三点∴解得a＝，b＝－，c＝4∴抛物线的解析式为

5、y＝x2－x＋4（2）直线BM与⊙D相切，理由如下：yDxCABOME连接DM交AB于E，由对称性可知DM⊥AB∴∠BEM＝∠DEB＝90°∵y＝x2－x＋4＝(x－5)2－∴EM＝，∴＝＝∵＝，∴＝∴△BEM∽△DEB，∴∠MBE＝∠BDE∵∠BDE＋∠DBE＝90°∴∠MBE＋∠DBE＝90°，∴∠DBM＝90°∴BM与⊙D相切（3）∵B（8，0），C（0，4），∴直线BC的解析式为y＝－x＋4分别过P、Q作x轴的垂线，垂足为F、G设P（m，m2－m＋4）yDxPCABOQFG由PQ＝4AQ得AF＝AG＝(m－2)，OF＝2＋(m－2)＝QF＝PG＝(m2－m＋4)＝∴Q（，）∵点Q在

6、直线y＝－x＋4上∴－()＋4＝解得m1＝－4，m2＝12∴P1（－4，18），P2（12，10）（福建莆田）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于E，点D在第一象限，且在抛物线的对称轴上，DE＝OC，DM＝．（1）求抛物线的对称轴；（2）若DA＝DC，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一个动点，若在直线BM上只存在一个点Q，使∠PQC＝45°，求点P的坐标．yMABOxDEC（1）由题意，DE＝OC＝c∵y＝x2＋bx＋c＝(x＋2b)2＋c－b2∴M（－2b，c－b2）yMA

7、BOxDEC∵DM＝，∴c－(c－b2)＝∴b2＝，∴b＝（舍去）或b＝－∴－2b＝5∴抛物线的对称轴为x＝5（2）设A（x1，0），B（x2，0）则x1，x2是方程x2－x＋c＝0的两个根∴x1＋x2＝－10，x1x2＝4c∴AB2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x＝100－16c易知AE＝AB，∴AE2＝AB2＝25－4c在Rt△DAE中，DA＝DC＝5，DE＝c∴AE2＝DA2－DE2＝25－c2∴25