全国各地中考数学压轴题专集答案反比例函数

全国各地中考数学压轴题专集答案反比例函数

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1、2012年全国各地中考数学压轴题专集答案三、反比例函数1.(北京模拟)如图,直线AB经过第一象限,分别与x轴、y轴交于A、B两点,P为线段AB上任意一点(不与A、B重合),过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足分别为C、D.设OC=x,四边形OCPD的面积为S.(1)若已知A(4,0),B(0,6),求S与x之间的函数关系式;(2)若已知A(a,0),B(0,b),且当x=时,S有最大值,求a、b的值;PBOCAxyD(3)在(2)的条件下,在直线AB上有一点M,且点M到x轴、y轴的距离相等,点N在过M点的反比例函数图象上,且△OAN是直角三角形,求

2、点N的坐标.1.解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b由A(4,0),B(0,6),得解得∴直线AB的解析式为y=-x+6∵OC=x,∴P(x,-x+6)∴S=x(-x+6)即S=-x2+6x(0<x<4)(2)设直线AB的解析式为y=mx+n∵OC=x,∴P(x,mx+n)∴S=mx2+nx∵当x=时,S有最大值∴解得∴直线AB的解析式为为y=-2x+3∴A(,0),B(0,3)即a=,b=3(3)设点M的坐标为(xM,yM),∵点M在(2)中的直线AB上,∴yM=-2xM+3∵点M到x轴、y轴的距离相等,∴xM=yM或xM=-yM当xM=

3、yM时,易得M点的坐标为(1,1)∴过M点的反比例函数的解析式为y=∵点N在y=的图象上,OA在x轴上,且△OAN是直角三角形∴点N的坐标为(,)当xM=-yM时,M点的坐标为(3,-3)过M点的反比例函数的解析式为y=-∵点N在y=-的图象上,OA在x轴上,且△OAN是直角三角形∴点N的坐标为(,-6)综上,点N的坐标为(,)或(,-6)2.(北京模拟)已知点A是双曲线y=(k1>0)上一点,点A的横坐标为1,过点A作平行于y轴的直线,与x轴交于点B,与双曲线y=(k2<0)交于点C.点D(m,0)是x轴上一点,且位于直线AC右侧,E是AD的中

4、点.(1)如图1,当m=4时,求△ACD的面积(用含k1、k2的代数式表示);(2)如图2,若点E恰好在双曲线y=(k1>0)上,求m的值;(3)如图3,设线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F,当m=2时,若△BDF的面积为1,且CF∥AD,求k1的值,并直接写出线段CF的长.图2EBOCAxyD图3EBOCAxyDF图1EBOCAxyD解:(1)由题意得A,C两点的坐标分别为A(1,k1),C(1,k2)∵k1>0,k2<0,∴点A在第一象限,点C在第四象限,AC=k1-k2当m=4时,S△ACD=AC·BD=(k1-k2)EBOCAxyDG

5、(2)作EG⊥x轴于点G,则EG∥AB∵E是AD的中点,∴G是BD的中点∵A(1,k1),B(1,0),D(m,0)∴EG=AB=,BG=BD=,OG=OB+BG=∴点E的坐标为E(,)∵点E恰好在双曲线y=(k1>0)上∴·=k1①∵k1>0,∴方程①可化为=1,解得m=3(3)当m=2时,点D的坐标为D(2,0),由(2)可知点E的坐标为E(,)EBOCAxyDF∵S△BDF=1,∴BD·OF=1,∴OF=2设直线BE的解析式为y=ax+b(a≠0)∵B(1,0),E(,)∴解得∴直线BE的解析式为y=k1x-k1∵线段EB的延长线与y轴的负

6、半轴交于点F,k1>0∴点F的坐标为F(0,-k1),∴OF=k1∴k1=2线段CF的长为3.(上海模拟)Rt△ABC在直角坐标系中的位置如图所示,tan∠BAC=,反比例函数y=(k≠0)在第一象限内的图象与BC边交于点D(4,m),与AB边交于点E(2,n),△BDE的面积为2.(1)求反比例函数和直线AB的解析式;BOCAxyDEF(2)设直线AB与y轴交于点F,点P是射线FD上一动点,是否存在点P使以E、F、P为顶点的三角形与△AEO相似?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)∵点D(4,m)、E(2,n)在反比例函数y=

7、(k≠0)的图象上BOCAxyDEHF∴得n=2m过点E作EH⊥BC于H,连接DE在Rt△BEH中,tan∠BEH=tan∠BAC=,EH=2,∴BH=1∴D(4,m),E(2,2m),B(4,2m+1)∵S△BDE=BD·EH=(m+1)×2=2,m=1∴D(4,1),E(2,2),B(4,3)∵点D(4,1)在反比例函数y=(k≠0)的图象上,∴k=4∴反比例函数的解析式为y=设直线AB的解析式为y=k′x+b,把B(4,3),E(2,2)代入得解得∴直线AB的解析式为y=x+1BOCAxyDEFP(2)∵直线y=x+1与y轴交于点F(0,1

8、),点D的坐标为(4,1),∴FD∥x轴,∠EFP=∠EAO因此以E、F、P为顶点的三角形与△AEO相似有两种情况:①若=,则△FEP∽

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