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1、第四节线性方程组的解的结构齐次线性方程组解的性质基础解系及其求法非齐次线性方程组解的性质例题详解小结三、非齐次线性方程组解的性质设有非齐次线性方程组证明１．非齐次线性方程组解的性质,性质3：21的解都是及设===bAxxx.02的解为对应的齐次方程=Axh1则-=xhhh证明证毕．.,0,性质4：的解仍是方程则的解是方程的解是方程设bAxxAxxbAxx=+=====hxxh２．非齐次线性方程组的通解Ax=b的任一解总可以表示为x=h*+k1x1+...+kn-rxn-r(k1,...,kn-r为任意实数). 其中x1,...,xn-r为方程Ax=o的基础
2、解系.几何意义3．线性方程组的解法（1）应用克拉默法则（2）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题．特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法．解例5求下述线性方程组的解且原方程组等价于方程组求基础解系依次得求特解故得基础解系所以方程组的通解为例6：已知是非齐次方程组的两个不同的解，是对应的齐次方程组的基础解系，为任意常数，则的通解为()练习：B１．齐次线性方程组基础解系的求法四、小结()()nB
3、RAR==()()nBRAR<=２．线性方程组解的情况R(A)n3．非齐次线性方程组通解的结构思考第五节向量空间向量空间的概念子空间向量空间的基与维数小结向 量解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象：可随意平行移动的有向线段代数形象：向量的坐 标 表 示 式坐标系向量空 间解析几何线性代数点空间：点的集合向量空间：向量的集合坐标系代数形象： 向量空间 中 的 平 面几何形象： 空间直线、曲线、空间平面或曲面一 一 对 应向量空间叫做维向量空间．时，维向量没有直观的几何形象．叫做维向量空间 中的维超平面．说明一、向量空间的概念定
4、义1设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合为向量空间．集合V对于加法及乘数两种运算封闭指例1：3维向量的全体R3,就是一个向量空间.可以用有向线段形象地表示3维向量.从而向量空间R3可形象地看作以坐标原点为起点的有向线段的全体.类似地,n维向量的全体Rn,也是一个向量空间.不过当n>3时,它没有直观的几何意义.例2判别下列集合是否为向量空间.1)解解2)3)齐次线性方程组的解集S={x
5、Ax=0}(称为齐次线性方程组的解空间)维向量，集合为两个已知的设nba,4)V.是一个向量空间解bax111ml+=因为若这个向量
6、空间称为由向量a,b所生成的向量空间.例3二、子空间定义2三、向量空间的基与维数定义3（1）如果向量空间V没有基,那么V的维数为0. 0维向量空间只含一个零向量O.．说明(2)若把向量空间V看作向量组,则可知V的基就是向量组的最大无关组,V的维数就是向量组的秩,即最大无关组所含向量的个数.任何n个线性无关的n维向量都可以是向量空间Rn的一个基,且由此可知Rn的维数为n,这也是Rn被称作n维向量空间的原因.若向量组是向量空间的一个基，则可表示为即V是由基所生成的向量空间。因而若在向量空间V中取定一个基a1,a2,…,ar，则V中任一向量x可唯一地表示为数组
7、1,2,…,r称为向量x在基a1,a2,…,ar中的坐标。特别地,在n维向量空间Rn中取单位坐标向量组e1,e2,…,en为基,则以x1,x2,…,xn为分量的向量x可表示为可见，向量x在基e1,e2,…,en中的坐标，就是该向量的分量，故称e1,e2,…,en为Rn中的自然基。设矩阵例分析例解过渡矩阵。例１．向量空间的概念：向量的集合对加法及数乘两种运算封闭；由向量组生成的向量空间．２．子空间的概念．３．向量空间的基和维数：求向量空间基和维数的方法．四、小结4．过渡矩阵，坐标变换公式．思考题思考题解答作业第108页：习题四28（2）;36；39；40
