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1、请同学们上课遵守课堂纪律，注意认真听讲作业(5月7号交)：P88页第三题的2题(2)P89页第三题的5题和6题(2)1矩阵A的非零子式的最高阶数,称为A的秩,记做r(A).规定:零矩阵的秩是零.定义例如2初等变换不改变矩阵的秩.可见定理2.7若A~B，则R(A)=R(B)．——矩阵的初等变换作为一种运算，其深刻意义在于它不改变矩阵的秩.3即利用初等变换将矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数求矩阵秩的一种常用方法就为所求矩阵的秩。推论若P、Q可逆则R(PAQ)R(PA)R(AQ)R(A）4§1n维向量
2、及其线性运算5由n个有次序的数a1a2an所组成的数组称为n维向量.这n个数称为该向量的n个分量（或坐标）第i个数ai称为第i个分量一、向量的定义定义3.16n维向量可写成一行：也可以写成一列：分别称为行向量和列向量.分别对应第二章中的行矩阵和列矩阵.规定:行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算。7注：所讨论的向量一般都当作列向量．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量．列向量用黑色小写字母等表示行向量则用表示．8特殊地每个分量都是零的向量称为零向量.负向量向量的负向量记为记作0.形如统称为n维单位向量.
3、.9如相等，记作若两个n维向量各对应分量相等,则称这两个向量相等.10二、向量的线性运算定义3.2设n维向量向量的加法定义为向量的减法定义为定义3.2设n维向量11向量的线性运算定义3.3的乘积，称为向量的数乘.记作数与n维向量即12易验证，向量的运算满足如下八条基本规律：1)加法交换律+=+;2)加法结合律(+)+=(+)+;3)零向量0=(0,0,…,0)有性质4)负向量=(a1,a2,…,an)有：+()=0;+0=;5)1=;6)数乘结合律k(l)=(kl);
4、7)第一分配律k(+)=k+k;8)第二分配律(k+l)=k+l,(其中,,为任意n维向量,k,l为实数).13例3.1设求解14§2向量组的线性相关性向量组的线性组合向量组的等价向量组的线性相关性向量组线性相关性的判定向量组线性相关性的性质15定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组．由向量构成的向量组可以记为通常用大写的字母表示：A,B,C等.或大写字母一、向量组的线性组合向量组：1.向量组16结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．向量组与矩阵的关系17定义3.4给定向量
5、组A：a1,a2,…,am，对于任何一组实数k1,k2,…,km，表达式给定向量组A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一组实数l1,l2,…,lm，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam则向量b是向量组A的一个线性组合，称向量b能由向量组A线性表示(或线性表出)．k1a1+k2a2+…+kmam称为向量组A的一个线性组合．k1,k2,…,km称为这个线性组合的系数．2、向量组的线性组合18向量组线性表示与线性方程组、矩阵的关系向量b能由向量组A线性表示线性方程组Ax=b有解P.64定理3.1、3.2的结论：19例
6、3.3设向量b能否由向量组a1,a2,a3线性表示，并求出表示式．解1向量b能由a1,a2,a3线性表示当且仅当R(A)=R(A,b)．因为R(A)=R(A,b)=3，所以向量b能由a1,a2,a3线性表示．20解2即向量b能由a1,a2,a3线性表示，则21例3.4判断向量是否可由向量组线性表示？解：经矩阵的行初等变换可得设显然即因此有向量b不能由向量组线性表示.22定义3.5设有向量组A：a1,a2,…,am及B：b1,b2,…,bl，若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称向量组等价．若向量组B中的每个向量都能由向
7、量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示．二、向量组的等价注1向量组等价也是等价关系，即具有:反身性，对称性，传递性.23注2向量组等价与矩阵等价不同，等价矩阵必须同型，而等价向量组中的向量个数不一定相同.注3若向量组A可由向量组B线性表示，则A中的每一个向量都可以用B中的向量线性表示，用方程组的语言来说，就是方程组Ax=0中的每一个方程都可以用方程组Bx=0中的方程线性组合得到.所以方程组Bx=0的解都是方程组Ax=0的解.进一步，若向量组A与B等价，则反之亦成立；所以，向量组A与向量组B等价的充分必要条件是方
8、程组Ax=0与Bx=0同解.24注4设有向量组A：a1,a2,…,am及B：b1,b2,…,bl，若向量组B能由向量组A线性表示，即线性表示的系数矩阵25若Cm×n=Am×lBl×n，即则结论：矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵．（B在右边）26若Cm×n=Am×lBl×n，即则
