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1、第四章线性系统的稳定性§4-1向量和矩阵的范数4-1-1向量的范数其范数
2、
3、x
4、
5、为一实数，具有性质：(1)若x0则
6、
7、x
8、
9、>0;当x=0,则
10、
11、x
12、
13、=0(2)
14、
15、x
16、
17、=
18、
19、
20、
21、x
22、
23、,为任意标量.(3)对于两个向量x,y有
24、
25、x+y
26、
27、≤
28、
29、x
30、
31、+
32、
33、y
34、
35、.(三角不等式)几种常见的向量范数：——n维空间上的点到原点的距离。4-1-2矩阵的范数(x的范数也定义：矩阵A=[aij]nm，其范数
36、
37、A
38、
39、满足:(1)当A0时，
40、
41、A
42、
43、>0；当A=0时，
44、
45、A
46、
47、=0；(2)
48、
49、A
50、
51、=
52、
53、
54、
55、
56、A
57、
58、为任意向量；(3)
59、
60、A+B
61、
62、
63、
64、A
65、
66、+
67、
68、B
69、
70、；(4)
71、
72、AB
73、
74、
75、
76、A
77、
78、
79、
80、B
81、
82、；几种常见的矩阵范数：2——范数1——范数§4-2平衡状态和稳定性4-2-1平衡状态（平衡点）xexe——一个状态变量，一旦系统到达此状态，则以后在无外力及扰动的情况下，总处于此状态。任意状态x(t)可表达为：x(t)=Ф(t;t0,x(t0),u(t))平衡状态xe——零输入状态下的不变状态，有xe=Ф(t;t0,xe,0)=常量对于线性定常连续系统：xe为平衡状态对于线性定常离散系统：x(k+1)=Gx
83、(k)(2)4-2-2几个稳定性概念可见，由线性定常连续系统（1）、离散系统（2）：xe=0线性定常系统：xe=0是唯一的渐近稳定的平衡状态。(1)李亚普若夫意义下的稳定性(SisL——Stabilityinthesenseoflyapunov或i.s.L稳定)xe——平衡状态，x0——初始状态（t0时刻）当且仅当对于任一实数>0，对应地存在一个实数>0，使：
84、
85、x0-xe
86、
87、≤时，从任一初始状态x0出发的零输入响应Ф(t;t0,x0,0)都满足
88、
89、Ф(t;t0,x0,0)-xe
90、
91、≤,t≥t0则称xe为l
92、yapunov意义下稳定的（SisL）。——球域s()，半径为；——球域s()，半径为。s()内的状态的自由运动总在s()内。若与t0无关，则称此平衡态xe是i.s.L一致稳定的，如下图。一般，=(,t0)，即与和t0有关；状态空间，以xe为原点，对给定正实数，以xe为球心、为半径构造一个超球体，球域记为s()。几何解释：定常系统：稳定一致稳定稳定一致稳定(2)渐近稳定（AS—asymptoticstability）称平衡态xe是渐近稳定（AS）的，如果满足：①xe是i.s.L稳定的；
93、②对于(,t0)和任意给定的实数>0，对应地存在实数T(,,t0)>0使得满足①的任一初态x0出发的零输入响应都满足：
94、
95、Ф(t;t0,x0,0)-xe
96、
97、<,t≥t0+T(,,t0),而且时变系统：如果从任一初态x0的受扰运动均为渐近稳定的，<5><6><4><3><2><1>线性系统：渐近稳定大范围渐近稳定。记：<1>=Sisl.<2>=一致Sisl.<3>=AS.<4>=一致AS.<5>=大范围AS.<6>=大范围一致AS.几种稳定定义的包含关系：线性系统：<3><5>则称平衡状态是大范围渐
98、近稳定的。大范围渐近稳定也称为全局渐近稳定。（小范围渐近稳定也称为局部渐近稳定。）xe为大范围渐近稳定：<4><6>(BIBO稳定——BoundedInput,BoundedOutputStability)零初始条件下，若输入u(t)有界，则输出y(t)也有界,称为BIBO稳定。(4)有界输入有界状态稳定：(BIBS——BoundedInput,BoundedStateStabrlrty)任意初始条件下，若输入u(t)有界，则状态x(t)有界，称为BIBS稳定。(3)有界输入有界输出稳定：§4-3渐近稳定(AS)及其
99、判据4-3-1线性定常连续系统的渐近稳定性线性定常连续系统：若u(t)=0,t≥0;对任意x(0),有称为系统是渐近稳定的。定理[特征值判据]线性定常连续系统为渐近稳定的充要条件是：系统矩阵A的全部特征值都具有负实部，即i——A的特征值。几个判据1．[必要条件判据]若线性定常系统为AS，则特征多项式的系数i(i=0,1,∙∙∙,n-1)必全为正：1）系统为ASi>0(i=0,1,∙∙∙,n-1)；2）有缺项或有负的系统不是AS。2．Routh---hurwitz判据（阵列表形式）。3．连分式判据（也称Hur
100、witz判据）可记成：[线性定常系统为AS的充要条件判据]：例03系数ki(i=1,2,3,4)全为正，系统为AS。4．Hurwitz行列式判据:5．Lienard——chipart判据——只需要计算一半Hurwitz行列式。例例4-3-2线性定常离散系统的渐近稳定性若对于任意x(0),有定理[特征值判据]线性定常离散系统渐近稳定
