线性系统理论-5bppt课件.ppt

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1、第五章线性系统的能控性和能观测性能控性:输出:y；输入:is回路Ⅰ的模式（模型）：e-t可由is控制；回路Ⅱ的模式（模型）：e-2t不能被is控制。①若UC2(t0)=0，t≥t0，回路Ⅱ的模式e-2t不能被激励；若UC2(t0)0，t≥t0，模式为e-2t，但输入is也无法控制它的变化。②回路Ⅰ的模式e-t，由输出y上观测不到，y能观测的仅仅是回路Ⅱ的模式e-2t；回路Ⅰ的模式e-t，可由is控制——可控；不能由y观测——不能观测。回路Ⅱ的模式e-2t,不能由is控制——不能控；可由y观测——能观测。§5-1引言控制作用对控制系统影响的可能性。能观测性:由系统的输出量确定系统状

2、态的可能性。引例1如图所示：_+R32yⅠC11FR11C20.5FR21Ⅱx1、x2都是由u控制，达到一定状态——系统完全能控；y只反映了x2——系统不完全能观测。状态x(t)：若x(t0)=0，t≥t0，us，x(t)=0——x(t)不能控；若us=0，x(t0)，t≥t0，y=0——x(t)不能观测；——不能控不能观测的系统。引例2如图所示:Cx_+RRRR_+y引例3系统§5-2能控性定义（线性定常系统，状态能控性）对于线性定常系统，若对初始状态x(t0)0，存在输入u(t)，t∈[t0,t1]，能在有限时间区间t∈[t0,t1]内,将x(t0)转移到状态x

3、(t1)=0，则称此状态x(t0)是能控的。若所有状态均可控，则称此系统是完全能控的；若系统内一部分状态能控，另一部分状态不能控，则称此系统不完全能控。对于线性时变系统，强调“x(t0)在t0时刻能控”。若对于t∈(-∞,∞)，x(t)均可控，称为“一致可控”。（nn对称阵）为非奇异。能控性判据一、线性定常系统(A,B,C)能控性判据1.定理1[Gram矩阵判据]线性定常系统为完全能控的充要条件是存在有限时刻t1>0,使Gram矩阵证明：a）充分性：=0b）必要性：完全能控WC(0,t1)非奇异。反证法：反设WC(0,t1)为奇异，至少于是，又，系统完全能控，为满秩。即2.定理

4、2[秩判据]的假设与系统完全能控相矛盾，反证不成立。即WC(0,t1)是非奇异的。线性定常系统状态完全能控的充要条件是：能控性判别矩阵WCrankWC=n(A—nn，B—np，WC—nnp)（该定理也适用于线性定常离散系统：证明：a）充分性已知rankWC=n系统完全能控。反证法：反证系统不完全能控。为奇异，则存在非零向量使其成立：对(1)式逐次求导，直到(n-1)次，得(1)和(2)中令t=0，得由于0所以(3)式意味着WC为行线性相关。即有rankWC

5、=n反证法：反证rankWC

6、明：已知3．定理3对状态变量x(t)进行非奇异线性变换，即x(t)=PZ(t)（P为非奇异），不改变系统的能控性。M是系统的模式矩阵。（M=[e1，e2，···,en]）证明：M=[e1，e2，···,en]x=Mz中第q行元素全为零：反之，不含有全零的行，无线性相关行（因i相异）由下式亦可进一步理解：5.定理5[约当规范形判据]设系统(A,B)有重特征值1(1重)，2(2重)，···，k(k重)，系统经x=Tw非奇异变换后为约当规范形：式中即每个重特征值i对应于一个约当块（每个约当块对应于互不相同的特征值）。则系统完全能控的充要条件是：变换后的控制阵中与每一约

7、当块Ji(i=1,2,,k)的最后一行相应的各行，其元素不完全为零。即证明：rankWCW=nrankWCX=n系统(A,B)完全能控。完全能控某J约当块Ji，相应的Jil为一上三角块。因此，若对应于Ji的最后一行，记为J的第q行，控制阵中该行元素全为零，即则WCW中必有第q行元素为零。于是：rankWCW