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时间:2020-09-16
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1、中考数学冲刺复习函数的应用(二)【知识梳理】1.利用二次函数解决“图形最值”问题的一般过程:(1)将实际问题转化为________.(2)利用二次函数的________解题.2.利用二次函数解决“利润最大化”问题的一般过程:(1)将利润表示成_______的二次函数.(2)利用二次函数的最值求出利润的最_______值.(3)写出答案.3.二次函数应用的常用数学思想有________.【考点例析】考点一利用二次函数求最大利润例1某商品的进价为每件20元,售价为每件30元,每个月可买出180件,如果每件商品的售价每上涨1元,那么每个月就会少卖出10件,但每件售价不能高于3
2、5元.设每件商品的售价上涨x元(x为整数),每个月的销售利润为y元.(1)求y与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;(2)每件商品的售价为多少元时,每个月可获得最大利润?最大利润是多少?(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰好是1920元?提示(1)销售利润=每件商品的利润×(180-10×上涨的钱数),根据每件售价不能高于35元,可得自变量的取值;(2)利用公式法结合(1)得到的函数解析式,从而可得二次函数的最值,再结合实际意义,求得整数解即可;(3)让(1)中的y=1920,解方程求出x的值.考点二 利用二次函数求最大面积 例2小磊要制作一个三角
3、形的钢架模型,在这个三角形中,长度为xcm的边与这条边上的高之和为40cm,这个三角形的面积S(cm2)随x(cm)的变化而变化.(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);(2)当x是多少时,这个三角形的面积S最大?最大面积是多少?提示 三角形的边x和这条边上的高之和是40cm,则该边上的高为(40-x)cm根据三角形的面积公式可写出S=·x·(40-x),这个二次函数的顶点坐标分别对应x及S的最大值.考点三 二次函数与其他函数的综合应用例3 2012年牡丹花会前夕,我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销,经过调查,
4、得到如下数据:(1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标,在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点,猜想y与x之间的函数关系.并求出函数关系式.(2)当销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少(利润=销售总价-成本总价)?(3)菏泽市物价部门规定,该工艺品销售单价最高不能超过35元/件,那么销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?提示 (1)把表格中的点在平面直角坐标系中画出来,可知这个函数是一次函数,所以设函数关系式为y=kx+b,利用待定系数法求出函数的解析式;(2)利润的最大问题是通过二次函数的知识来解决的,列出
5、利润与销售单价之间的二次函数关系式,然后根据最值问题求解;(3)利用二次函数的性质解题.考点四二次函数与几何图形的综合应用例4如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,P是BC上的任意一点(P与B、C不重合),过点P作AP⊥PE.垂足为P,PE交CD于点E.(1)连接AE,当△APE与△ADE全等时,求BP的长;(2)若设BP为x,CE为y,试确定y与x的函数关系式,当x取何值时,y的值最大?最大值是多少?(3)连接BD,若PE∥BD,试求出此时BP的长.提示(1)在Rt△ABP中,由勾股定理求得BP的长;(2)∵AP⊥PE,易知Rt△ABP∽Rt△PCE,从而构建了
6、y与x的函数关系式.再利用配方法求得y的最大值;(3)由PE∥BD可知△CPE∽△CBD,从而利用相似三角形构建方程解题.【反馈练习】1.某种商品的进价为每件50元,售价为每件60元,每个月可卖出200件.如果每件商品的售价上涨1元,那么每个月少卖10件(每件售价不能高于72元).设每件商品的售价上涨x元(x为整数).每个月的销售利润为y元.(1)求y与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;(2)每件商品的售价定为多少时.每个月可获得最大利润?最大利润是多少?2.如图,在边长为24cm的正方形纸片ABCD上,剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿图中的
7、虚线折起,折成一个长方体形状的包装盒(A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点).已知E、F在AB边上,是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=BF=xcm(1)若折成的包装盒恰好是个正方体,试求这个包装盒的体积V;(2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积5最大,试问,应取何值?3.在“母亲节”期间,某校部分团员参加社会公益活动,准备购进一批许愿瓶进行销售,并将所得利润捐给慈善机构.根据市场调查,这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的对应关系如图所示.(1)试判断y与x之间的函数关系,并求
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