非线性方程的数值解ppt课件.ppt

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1、第八章非线性方程的数值解§1二分法§2迭代法2.1迭代格式2.2收敛性条件2.3迭代法的收敛阶§3牛顿迭代法3.1迭代格式3.2迭代法的收敛阶§4弦割法xyoab*x*9/18/20211这种方程往往无法求得其精确解，只能通过数值方法求其近似解。这里我们将介绍两种数值方法：非线性方程求根是我们经常碰到的问题，例如：(1).二分法;(2).迭代法：一般迭代法、牛顿迭代法、弦截法.9/18/20212§1二分法对于f(x)=0（8.1）设f(x)∈C[a,b]，且f(a)f(b)<0，则知（8.1）在(a,b)内至少有一实根x*。如果在(a,b)内有(8.1)的唯一实根x*

2、：则可以用二分法进行求解，求解的步骤如下：xyoab*x*9/18/20213Step1计算f(a)、f(b)及若令a1=a,若则x*∈[a1,b1]则若b1=b,令则x*∈[a1,b1]x*abx*ababx*a1b1a1b19/18/20214stepk：计算f(ak-1)、f(bk-1)及若则令ak=ak-1,若则x*∈[ak,bk]若bk=bk-1,令则x*∈[ak,bk]最后可取x*akbk9/18/20215误差运算次数的控制,可以用下面两种方式处理：1）令2）令b0a0a1b1a2b29/18/20216例8.1求方程x3-x-1=0在区间[1,1.5]内

3、的实根，要求误差不超过0.005.解：令f(x)=x3-x-1则有f(1)=-1,f(1.5)=0.875且由f’(x)=3x2-1>0,x∈[1.0,1.5]可知f(x)=0在[1,1.5]内有唯一实根x*。这时f(1)f(1.5)<0x*Ox1.01.5y我们采用二分法进行计算，每一次的计算结果由下表给出9/18/20217kakbkxk=(ak+bk)/2f(xk)01.01.5123456f(x)=x3-x-1,f(1)=-1<0,f(1.5)=0.875>01.25-0.29691.251.51.3750.22461.251.3751.3125-0.05151

4、.31251.3751.34380.08281.31251.34381.32810.01451.31251.32811.3203-0.01881.32031.32811.3242-0.0018这时

5、x6-x5

6、=0.0039<0.005,可得近似解x*≈x6=1.32429/18/20218这里的a=1.0,b=1.5,取ε=0.005，代入上面的不等式即2k+1>102取k=6,也就是计算6次就可以达到满足精度要求的近似解.应当注意：二分法要求f(x)连续，但只能求单根且收敛速度不快。下面我们介绍迭代解法。另外，我们也可以提前确定计算次数，这时利用关系式—>(k+1)

7、lg2>29/18/20219§2、迭代解法一、迭代格式的构造对于f(x)=0(8.1)将其改写为x=g(x)(8.2)取适当的初值x0得迭代格式:并称其为求解(8.1)的迭代法，g(x)称为迭代函数。xk+1=g(xk),k=0,1,2,…(8.3)设x*为(8.1)精确解，如果，则称迭代解{xk}收敛，否则称为发散。9/18/202110例8.2用简单迭代法求x3-2x-3=0在[1,2]内的根。解：容易验证方程[1,2]在内只有单根。改写原方程为得迭代格式取初始值x0=1.9，由上面的迭代格式求得近似解如下：这里9/18/202111……………由于x8、x9相当接

8、近，故可取x*≈x8=1.89328920。如果将原方程x3-2x-3=0改为仍取初值x0=1.9，得迭代格式如下：x1=1.8945647x2=1.89352114x8=1.89328920x9=1.893289209/18/202112得到的近似解是不收敛的，越来越发散。由此可见迭代函数g(x)选取的适当，近似解将会收敛；选取的不适当，近似解将会发散。求得近似解为：x0=1.900x1=1.930x2=2.095x3=3.098x4=13.37那么选择怎样的g(x)迭代格式才会收敛呢？下面我们将讨论这一问题。9/18/202113二、收敛性条件定理8.1设迭代函数g

9、(x)满足条件由方程f(x)=0产生的迭代格式:xk+1=g(xk),k=0,1,2,…(8.3)具有如下的收敛性条件.1）g(x)∈C[a,b];3）g’(x)存在，且存在0

10、g’(x)

11、≤L<12）当x∈[a,b]时,g(x)∈[a,b];则有以下结论：9/18/2021141）方程f(x)=0或者x=g(x)在[a,b]上有唯一解x*.3）x*有误差估计式2）对于任意的x0∈[a,b]迭代格式xk+1=g(xk)，k=0,1,2…收敛,而且：或4）9/18/202115例8.3确定xex–1=0在