《微分方程的数值解》PPT课件

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1、第五节微分方程的数值解在实用上有重大意义的许多微分方程，虽然满足解的存在唯一性定理的相关条件，但是它们的解常常不能表达成初等函数的形式，这类微分方程除了在第六章将要介绍稳定性、定性方法进行讨论之外，最常用的方法就是用数值方法求解它们了，即微分方程的数值解法，现已逐步形成一门新的、独立的研究分支了。求Cauchy问题(初值问题)的解，根据初值条件，按照一定的步长h，用某种方法（算法）计算微分方程解的近似值，这样求出的解称为数值解。第一部分欧拉方法一、欧拉格式规定：相邻两个节点的间距称为步长，在以后如不特别声明，步长就为定值h。讨论下列节点

2、列上的近似解：并用的近似值代入上式的右端，记所得结果为，于是有欧拉公式(Euler)把方程（1）离散化，其基本方法是用差商代替微商，如以点列代入方程（1），有：并用差商代替其中的导数项，即有：例1求解以下初值问题解：分析1、确定步长h＝0.1，由欧拉格式，有2、通过计算分析欧拉格式的精度较低。1.73211.78481.01.41421.43510.51.61251.64980.81.26491.27740.31.67331.54921.48320.90.70.61.35821.19181.10001.71781.34160.41.58

3、031.18320.21.50901.09540.1在的前提下估计的误差称为局部截断误差。1、欧拉公式（欧拉格式）2、差分方程由（3）构成的方程称为差分方程，由此逐步求。3、局部截断误差和精度如果一种数值方法的局部截断误差为，则称这种方法的精度为阶。二、隐式欧拉格式（一阶精度）用向后差商替代方程中的导数项，有（隐式欧拉格式）欧拉格式的精度是阶。事实上，有三、两步欧拉格式（二阶精度）用中心差商替代方程中的导数项，有（两步欧拉格式）计算当前步的值需要用到前两步的值，因此，得名两步格式。同时，也称前两种方法为单步方法。小结介绍了常微分方程初值

4、问题数值求解的欧拉格式，这些格式分别具有一阶和二阶精度。注意：1、欧拉格式建立的基本思想就是用差商代替微商（向前、向后和中心差商）；2、步长的选取；3、算法的收敛和稳定性分析是一个算法的重要部分。欧拉格式隐式欧拉格式两步欧拉格式一阶精度一阶精度二阶精度作业：采用欧拉方法求解初值问题（步长为h＝0.1）（用C++语言编写程序求解并准确解比较。）