常微分方程数值解ppt课件.ppt

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1、数值计算方法第七章常微分方程数值解法1在工程和科学计算中，所建立的各种常微分方程的初值或边值问题，除很少几类的特殊方程能给出解析解，绝大多数的方程是很难甚至不可能给出解析解的，其主要原因在于积分工具的局限性。因此，人们转向用数值方法去解常微分方程，并获得相当大的成功，讨论和研究常微分方程的数值解法是有重要意义的。27.0基本概念1.一阶常微分方程的初值问题(7.0-1)注：若f在D={axb,

2、y

3、<+}内连续，且满足Lip条件：L0，使

4、f(x，y1)–f(x，y2)

5、L

6、y1–y2

7、(7.0-2)则(7.0-1)的连续可微解y(x)在[a，b]上唯

8、一存在。32.初值问题的数值解称(7.0-1)的解y(x)在节点xi处的近似值yiy(xi)a

9、造及其精度7.1.1构造方法对于(7.0-1)可借助Taylor展开（导数法）、差商法、积分法实现离散化来构造求积公式：1.设yC[a，b]将y(xi+1)=y(xi+h)在xi处展开[xi，xi+1]y(xi+1)yi+hf(xi，yi)其中yiy(xi).称yi+1=yi+hf(xi，yi).i=0,1,2,…,n–1(7.1-1)为Euler求解公式，（Euler法）62.用差商来表示：得差分方程：yi+1=yi+hf(xi，yi).即为Euler公式。若记yi+1=yi+hf(xi+1，yi+1).(7.1-2)称为向后Euler法。注：①

10、Euler法为显式，向后Euler法为隐式——须解出yi+1.②可用迭代法yi+1(k+1)=yi+hf(xi+1，yi+1(k))k=0,1,2,…解得yi+1，其中yi+1(0)=yi+hf(xi，yi).73.对(7.0-1)两边取积分得(7.1-3)取不同的数值积分可得不同的求解公式，如：①用矩形公式：y(xi+1)y(xi)+hf(xi，y(xi))yi+1=yi+hf(xi，yi)Euler公式y(xi+1)y(xi)+hf(xi+1，y(xi+1))yi+1=yi+hf(xi，yi)向后Euler公式8②用梯形公式：(7.1-4)称(7.1-

11、4)为梯形公式隐式公式。显化：预估值：校正值：(7.1-5)称(7.1-5)为改进的Euler公式(显示格式)94.几何意义Euler法折线法改进Euler法平均斜率折线法107.1.2截断误差与代数精度定义7.1-1①称i=y(xi)–yi为数值解yi的(整体)截断误差。②若yk=y(xk)，k=0,1,2,…,i–1.由求解公式得数值解，称为yi的局部截断误差。注：局部截断误差ei是指单步计算产生的误差，而(整体)截断误差i则考虑到每步误差对下一步的影响。11定义7.1-2若求解公式的（整体）截断误差为O(hp)，则称该方法是p阶方法，或是p阶

12、精度。定理7.1-1设数值解公式：yi+1=yi+h(xi，yi，h)中的函数(x，y，h)关于y满足Lipschitz条件：且其局部截断误差为hp+1阶，则其(整体)截断误差为hp阶，即该数值解公式为p阶方式。注：①局部截断误差较易估计,定理7.1-1表明：若ei=O(hp+1)则i=O(hp).②Euler局部截断误差为,所以一阶精度。向后Euler法也是一阶精度。③梯形公式为二阶精度。12例1：用Euler方法求解初值问题：取步长h=0.1，并与准确解比较解：因为xi=1+0.1i，而f(x，y)=y+(1+x)y2，故f(xi，yi)=y

13、i+(2+0.1i)yi2于是Euler计算公式为yi+1=yi+0.1[yi+(2+0.1i)yi2]，i=0，1，2，3，4注：Euler方法精度较低ex91.m13例2：用改进Euler方法求解初值问题：取步长h=0.1，并与准确解比较解：xi=1+0.1i，于是改进Euler法的计算公式为i=0，1，2，3，4注：改进Euler方法精度比Euler方法精度高147.2RungeKutta方法7.2.1构造高阶单步法的直接方法由Taylor公式：当h充分小时，略去Taylor公式余项，并以yi、yi+1分别代替y(xi)、y(xi+1)，得到差分方程：(7

14、.2-1)