《常微分方程数值解》PPT课件

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1、第9章常微分方程数值解法9.1引言实际中，很多问题的数学模型都是微分方程。我们可以研究它们的一些性质。但是，只有极少数特殊的方程有解析解。对于绝大部分的微分方程是没有解析解的。常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在自然界与工程界有很广泛的应用。很多问题的数学表述都可以归结为常微分方程的定解问题。很多偏微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来近似求解。本章讨论常微分方程的数值解法9.1Euler方法对于一个常微分方程：通常会有无穷个解。如：因此，我们要加入一个限定条件。通常会在端点出给出，如下面的初值问题：为了使解存在唯一，

2、一般，要加限制条件在f上，要求f对y满足Lipschitz条件：要计算出解函数y(x)在一系列节点a=x0

3、方程出发，建立求格点函数的差分方程。这个方程应该满足：A、解存在唯一；B、稳定，收敛；C、相容数值方法，主要研究步骤②，即如何建立差分方程，并研究差分方程的性质。这种方法，称为数值离散方法。求的是在一系列离散点列上，求未知函数y在这些点上的值的近似。我们的目的，就是求这个格点函数为了考察数值方法提供的数值解，是否有实用价值，需要知道如下几个结论：①步长充分小时，所得到的数值解能否逼近问题的真解；即收敛性问题②误差估计产生得舍入误差，在以后得各步计算中，是否会无限制扩大；稳定性问题做等距分割，利用数值微分代替导数项，建立差分方

4、程。1、向前差商公式所以，可以构造差分方程称为局部截断误差。显然，这个误差在逐步计算过程中会传播，积累。因此还要估计这种积累欧拉法定义在假设yi=y(xi)，即第i步计算是精确的前提下，考虑的截断误差Ri=y(xi+1)yi+1称为局部截断误差/*localtruncationerror*/。定义若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p阶精度。欧拉法的局部截断误差：欧拉法具有1阶精度。欧拉公式的改进：隐式欧拉法/*implicitEulermethod*/向后差商近似导数x0x1))(,()(1101x

5、yxfhyxy+)1,...,0(),(111-=+=+++niyxfhyyiiii由于未知数yi+1同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式/*implicit*/欧拉公式，而前者称为显式/*explicit*/欧拉公式。一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。隐式欧拉法的局部截断误差：即隐式欧拉公式具有1阶精度。例5.1用欧拉法求初值问题当h=0.02时在区间[0,0.10]上的数值解。方程真解：nxnyny(xn)n=y(xn)-yn001.00001.0000010.020.98200.98250.0005

6、20.040.96500.96600.000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.0021梯形公式/*trapezoidformula*/—显、隐式两种算法的平均注：有局部截断误差，即梯形公式具有2阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。中点欧拉公式/*midpointformula*/中心差商近似导数x0x2x1假设，则可以导出即中点公式具有2阶精度。需要2个初值

7、y0和y1来启动递推过程，这样的算法称为双步法/*double-stepmethod*/，而前面的三种算法都是单步法/*single-stepmethod*/。方法显式欧拉隐式欧拉梯形公式中点公式简单精度低稳定性最好精度低,计算量大精度提高计算量大精度提高,显式多一个初值,可能影响精度使用梯形公式计算时，常采用Euler方法提供迭代初值，则梯形法的迭代公式为：分析迭代过程的收敛性，可得于是有梯形方法虽然提高了精度，但算法复杂，在应用迭代公式进行实际计算的时候，每迭代一次，都要重新计算函数值，而迭代又要反复进行若干次，计算

8、量很大，而且往往难以预测。为了控制计算量，通常只迭代一两次就转入下一步计算，从而简化算法。改进欧拉法/*modifiedEuler’smethod*/Step1:先用显式欧拉公式作预测，算出),(1iiiiyxfhyy+=+Step2:再将代入隐式梯形公式的右边作校正，得到1+iy)],