常微分方程数值解ppt课件.ppt

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1、第七章常微分方程数值解法§1、引言微分方程的数值解：设方程问题的解y(x)的存在区间是[a,b]，令a=x0

2、离散化常用方法§1解常微分方程初值问题的Euler方法Euler方法Euler方法的误差分析向前Euler公式（Euler折线法或显格式）向后Euler公式（后退Euler公式）梯形公式（改进的Euler公式）Euler预估－校正格式一、Euler方法1、向前Euler公式用分段的折线逼近逼近函数2、向后（后退的）Euler方法3、梯形公式4、改进的尤拉公式梯形公式虽然提高了精度，但使算法复杂。而在实际计算中只迭代一次，这样建立的预测—校正系统称作改进的尤拉公式。二、Euler方法的误差分析2）总体方法误差总体截断误差与局部截断误差的关系是：误差分析表Euler方

3、法局部截断误差总体截断误差迭代收敛条件向前Euler方法O(h2)O(h)向后Euler方法O(h2)O(h)0

4、步公式的导出二、常用的线性多步公式利用数值积分方法求线性多步公式一阶常微分方程组与高阶方程我们已介绍了一阶常微分方程初值问题的各种数值解法，对于一阶常微分方程组，可类似得到各种解法，而高阶常微分方程可转化为一阶常微分方程组来求解。一阶常微分方程组对于一阶常微分方程组的初值问题（5.1）可以把单个方程中的f和y看作向量来处理，这样就可把前面介绍的各种差分算法推广到求一阶方程组初值问题中来。设为节点上的近似解，则有改进的Euler格式为预报：校正：（7.32）又，相应的四阶龙格—库塔格式（经典格式）为（7.33）式中（7.34）把节点xi上的yi和zi值代入式(7.3

5、4),依次算出,然后把它们代入式(7.33),算出节点xi+1上的yi+1和zi+1值。对于具有三个或三个以上方程的方程组的初值问题,也可用类似方法处理,只是更复杂一些而已。此外,多步方法也同样可以应用于求解方程组初值问题。例用改进的Euler法求解初值问题取步长h=0.1，保留六位小数。解:改进的Euler法公式为预报：校正：将及h=0.1代入上式,得由初值,计算得高阶方程组高阶微分方程(或方程组)的初值问题,原则上都可以归结为一阶方程组来求解。例如,有二阶微分方程的初值问题在引入新的变量后,即化为一阶方程组初值问题:式（7.36）为一个一阶方程组的初值问题，对

6、此可用7.7.1中介绍的方法来求解。例如应用四阶龙格-库塔公式得消去，上式简化为：上述方法同样可以用来处理三阶或更高阶的微分方程（或方程组）的初值问题例求解下列二阶微分方程的初值问题取步长h=0.1解:先作变换：令，代入上式，得一阶方程组用四阶龙格-库塔方法求解,按式(7.37)及(7.38)进行计算：取步长,,,时然后计算时的y2和z2；依此类推，直到i=9时的y10和z10，即可得到其数值解。本章小结本章介绍了常微分方程初值问题的基本数值解法。包括单步法和多步法。单步法主要有欧拉法、改进欧拉法和龙格—库塔方法。多步法是亚当姆斯法。它们都是基于把一个连续的定解问

7、题离散化为一个差分方程来求解，是一种步进式的方法。用多步法求常微分方程的数值解可获得较高的精度。实际应用时，选择合适的算法有一定的难度，既要考虑算法的简易性和计算量，又要考虑截断误差和收敛性、稳定性。龙格-库塔法较为常用，适用于多步方法中作初值计算和函数f(x,y)较为简单的场合。四阶标准龙格—库塔法精度高，程序简单，易于改变步长，比较稳定，也是一个常用的方法，但计算量较大。当函数f(x,y)较为复杂，可用显式亚当姆斯方法或亚当姆斯预测—校正方法，不仅计算量较小，稳定性也比较好，但不易改变步长。一般采用龙格—库塔法提供初值y1,y2,y3，然后用亚当姆斯外推公式求

8、得预测值，