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1、§4.4非线性方程的牛顿法(NewtonMethodofNonlinearEquations)内容提纲（Outline)牛顿法及其几何意义收敛性及其收敛速度计算实例及其程序演示取x0作为初始近似值，将f(x)在x0做Taylor展开:重复上述过程作为第一次近似值一、牛顿法及其几何意义Newton迭代公式基本思路：将非线性方程f(x)=0线性化牛顿法的几何意义xyx*x0x1x2牛顿法也称为切线法,迭代函数（局部收敛性定理）设f(x)C2[a,b]，若x*为f(x)在[a,b]上的根,且f(x*)0，则存在x*的邻域使得任
2、取初始值，Newton法产生的序列{xk}收敛到x*，且满足至少平方收敛二、牛顿法的收敛性与收敛速度定理4.4.1在x*的附近收敛由Taylor展开：令k，由f(x*)0，即可得结论。证明：Newton法实际上是一种特殊的迭代法迭代函数为：思考题1若 ，Newton法是否仍收敛？设x*是f的m重根，则令：且Answer1:有局部收敛性Answer2:线性收敛思考题2当x*是f(x)=0的m重根,是否平方收敛？结论：Newton法的收敛性依赖于x0的选取。局部收敛定理对初始值x0要求较高。x*x0x0x0有根根唯
3、一(全局收敛性定理):设f(x)C2[a,b],若f(a)f(b)<0；在整个[a,b]上f(x)0；f(x)在[a,b]上不变号选取初始值x0[a,b]使得f(x0)f(x0)>0；则由Newton法产生的序列{xk}单调地收敛到f(x)=0在[a,b]的唯一根x*,且收敛速度至少是二阶的保证产生的序列{xk}单调有界保证Newton迭代函数将[a,b]映射于自身定理4.4.2将f(x*)在xk处作Taylor展开对迭代公式两边取极限，得证明：以为例证明说明数列{xk}有下界故{xk}单调递减,从而{xk}收敛
4、.令？定理4.4.3(全局收敛性定理):设f(x)C2[a,b],若(1)f(a)f(b)<0；(2)在整个[a,b]上f(x)0,f(x)0；(3)则对任何,Newton迭代格式产生的序列都收敛于f(x)=0的根x*.注:定理的条件(3)保证了从x*两侧任取x0,所得到的数列{xk}均在[a,b]内.三、计算实例及其程序演示辅助工具:VC程序设计语言Matlab数学软件(1)选定初值x0,计算f(x0),f(x0)计算步骤(2)按公式迭代得新的近似值xk+1(3)对于给定的允许精度，如果则终止迭代，取;否则k=
5、k+1，再转步骤(2)计算允许精度最大迭代次数迭代信息例1：用Newton法求方程的根,要求迭代格式一：迭代格式二：取初值x0＝0.0,计算如下：对迭代格式一:theiterativenumberis27,thenumericalsolutionis0.442852706对迭代格式二:theiterativenumberis3,thenumericalsolutionis0.442854401解：例题2求函数的正实根精度要求：从图形中我们可以看出：在x=7和x=8之间有一单根；在x=1和x=2之间有一重根。用Matlab画图，查
6、看根的分布情形初值x0＝8.0时,计算的是单根,Theiterativenumberis28,Thenumericalsolutionis7.600001481初值x0＝1.0,计算的是重根,Theiterativenumberis1356,Thenumericalsolutionis1.198631981取初值x0＝8.0,用牛顿迭代公式计算如下：取初值x0＝1.0,用牛顿迭代公式计算如下：小结(1)当f(x)充分光滑且x*是f(x)=0的单根时，牛顿法在x*的附近至少是平方收敛的。(2)当f(x)充分光滑且x*是f(x)=0
7、的重根时，牛顿法在x*的附近是线性收敛的。(3)Newton法在区间[a,b]上的收敛性依赖于初值x0的选取。(4)Newton法的突出优点：收敛速度快缺点：需计算函数的导数。四重根情形的Newton迭代法重根情形的Newton迭代法是线性收敛的,且有由此易知若迭代函数为：则Newton迭代格式为平方收敛.但m通常未知,故常用修改方法：令若x*为f(x)的m重根,则x*为u(x)=0的单根,取则得:此格式二阶收敛,但要计算二阶导数.§4.5弦截法与抛物线法一、单点弦截法固定一点P0(x0,f(x0)),用差商代替Newton公式
8、中的,则得离散化的公式:称为单点弦截法,是一种简单迭代法.几何意义:依次用弦线代替曲线,用线性函数的零点作为f(x)零点的近似值.定理4.5.1设f(x)在[a,b]上满足：(1)f(a)f(b)<0;(2)在[a,b]上连续且不变号;(3)选取初始值,使得,选
