2019届高考数学总复习 第7章 第7讲 立体几何中的向量方法课件 理 新人教A版.ppt

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1、第7讲立体几何中的向量方法不同寻常的一本书，不可不读哟！1.理解直线的方向向量与平面的法向量．2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.1个必知趋势用向量法解立体几何问题是新课标高考形式的主趋势，掌握向量法解立体几何问题的方法，可以使几何论证问题化难为易，可以使立体几何中空间角、空间距

2、离的求法公式化．2个必记提醒1.用向量证明平行、垂直时，要注意解题的规范性．如证明线面平行时，仍需要表明一条直线在平面内、另一条直线在平面外．2.当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角．3种必会方法1.求两异面直线a、b的夹角θ，须求出它们的方向向量a，b的夹角，则cosθ＝

3、cos〈a，b〉

4、.2.求直线l与平面α所成的角θ，可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a的夹角．则sinθ＝

5、cos〈n，a〉

6、

7、.3.求二面角α－l－β的大小θ，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则θ＝〈n1,n2〉或π－〈n1，n2〉.课前自主导学1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线l上的向量e或与e________的向量叫做直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量有________个．(2)平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，此时向量n叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量也有________个，且它们是________向量．

8、(3)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R；l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0；l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R；α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R；α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0.在求平面法向量时，所列方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何处理？下列命题是否正确①若n1，n2分别是平面α、β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β(　)②若n1，n2分别是平面α、β内的向量，则α∥β⇔n1∥n2(　)③若n1是直线l的一个

9、方向向量，n2是平面α的一个法向量，则l∥α⇔n1⊥n2(　)④若n1＝(－7,3,4)，n2＝(x，y,8)分别是两直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则x＋y＝－8(　)(3)求二面角的大小(ⅰ)如图①，AB、CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝________.(ⅱ)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．取值范围是[0，π]．3.求空间的距离(

10、1)点到平面的距离如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝________.(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解．在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于________.1.共线　无数　无数　共线想一想：提示：给其中某一变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可以作为平面法向量的坐标．判一判：①×②×③×④√核心要点研究例1　[2012·福建高考]如图，在长

11、方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．[审题视点](1)证明两直线的方向向量数量积为零；(2)设存在点P(0,0，z0)，构建z0的方程，若能求出z0的值，说明点P存在；(3)先求出两平面的法向量，利用二面角的平面角的度数即可得到关于a的方程，从而可求出a的值．1．利用向量法证明空间的平

12、行或垂直问题，建系是关键的一步，通常借助于几何图形中的垂直关系选择坐标原点和坐标轴，并让尽可能多的顶点在坐标轴上．2．用向量法证线面平行还可以使用证明直线的一个方向向量与平面内的某一向量是共线(平行)向量，也可以证明直线的方向向量与平面的某个法向量垂直，在具体问题中可选择较简单的解法．[变式探究]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，且PA＝AD，E、F分别为线段AB、PD的中点．求证：(1)AF∥平面PEC；(2)AF⊥平面PCD.例2　[2012·重庆高考