【优化指导】2014高考数学总复习 第7章 第7节 立体几何中的向量方法课件 理 新人教A版.ppt

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1、第七章　立体几何第七节　立体几何中的向量方法(理)考纲要求考情分析1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.1.从考查内容看，本节是高考的必考内容，主要考查利用空间向量的坐标运算解决直线、平面间的平行、垂直关系，求空间角(异面直线所成角、直线与平面所成

2、角、二面角)及距离等问题.2.从考查形式看，主要以解答题的形式出现，侧重于考查空间向量的应用，属中档题.一、直线的方向向量和平面的法向量1．直线的方向向量直线l上的向量e或与e的向量叫做直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量有个．共线无数2．平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，此时向量n叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量也有个，且它们是向量．无数多共线1．求平面法向量的一般步骤是什么？二、利用空间向量求角1．求两条异面直线所成的角设

3、a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

4、cos〈a，n〉

5、(2)设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个面α、β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是(如图②③)．二面角的平面角的大小求出两平面法向量的夹角后，一定要根据图形来判断二面角的大小与两法向量夹角的关系，然后得出结论．2．点到平面的距离公式如何推导？1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2，4，－4)，b＝(－6，9，6)，则()A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1与l2相交但不垂直D．以上均不正确解析：∵a·b

6、＝2×(－6)＋4×9＋6×(－4)＝0，∴a⊥b，从而l1⊥l2.答案：B2．若平面α与平面β的法向量分别是a＝(4，0，－2)，b＝(－4，0，2)，则平面α与β的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法判断解析：由题意，有a＝－b，∴a与b共线，从而α与β平行．答案：A4．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)．n＝(0，1，1)，则两平面所成二面角的大小为________．5．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB的中点，则对角线DB1与CM所成角的余弦值为____

7、____．【考向探寻】1．利用空间向量证明平行关系．2．利用空间向量证明垂直关系．【典例剖析】(1)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是A．a＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)(2)如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：①DE∥平面

8、ABC；②B1F⊥平面AEF.题号分析(1)根据a，n是否垂直进行判断.(2)建立空间直角坐标系，运用向量法证明.(1)解析：若l∥α，则需a·n＝0即可，经验证知D满足．答案：D(1)用向量证平行的方法线线平行证明两直线的方向向量共线．线面平行①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．面面平行①证明两平面的法向量为平行(即为共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题.(2)用向量证明

9、垂直的方法线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证他们的数量积为零．线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线面垂直．面面垂直证明两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直.用向量证明平行、垂直时，要注意解题的规范性。如证明线面平行时，仍需要体现出一条直线在平面内、另一条直线在平面外的答题步骤．【活学活用】1.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，

10、点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：(1)CM∥平面PAD；(2)平面PAB⊥平面PAD.证明：以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°，【考向探寻】1．利用空间向量求两异面直线所成的角，线面角、二面角的大小．2．利用空间向量求空间中的距离问题．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则