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《高考数学大一轮总复习 第7篇 第7节 立体几何的向量方法课件 理 新人教A版.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第7节 立体几何的向量方法基础梳理1．直线的方向向量和平面的法向量及其应用(1)直线的方向向量和平面的法向量①直线的方向向量．直线l上的向量e或与e共线的向量叫做直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量有_____个．②平面的法向量．如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，此时向量n叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有______个，且它们是______向量．无数无数共线(2)利用空间向量证明空间中的位置关系设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面α、β的法向量分别为u、v，则l∥m⇔a∥b⇔a＝kb(k∈R)；l⊥m⇔a⊥b⇔
2、a·b＝0；l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0；l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku(k∈R)；α∥β⇔u∥v⇔u＝kv(k∈R)；α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0.(2)求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a、n的夹角为φ，则sinθ＝
3、cosφ
4、＝__________.(3)求二面角的大小①若AB、CD分别是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是_______________与的夹角(如图(1))．②设n1、n2分别是二面角αlβ的两个面α、β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如
5、图(2)(3)，其中图(2)中向量夹角的大小即为二面角平面角，图(3)中则为其补角)．(2)点面距的求法设n是平面α的法向量，点A在平面α内，点B在平面α外，则点B到平面α的距离为______.(3)线面距、面面距均可转化为点面距再用(2)中方法求解．1．若直线l∥平面α，直线l的方向向量为s、平面α的法向量为n，则下列结论正确的是( )A．s＝(－1,0,2)，n＝(1,0，－1)B．s＝(－1,0,1)，n＝(1,2，－1)C．s＝(－1,1,1)，n＝(1,2，－1)D．s＝(－1,1,1)，n＝(－2,2,2)解析：直线与平面平行，直线的方向向量和平面的法向量垂直，经
6、检验只有选项C中s·n＝0，故选C.答案：C3．在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于( )A．4B．2C．3D．14．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为______．考点突破[例1](1)如图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为ABC.已知A1B1＝B1C1＝1，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3.设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1.(
7、注：侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱)利用向量证明平行、垂直(2)如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．求证：AB1⊥平面A1BD.[思维导引](1)建立空间直角坐标系后，把线面平行转化为向量之间的平行与垂直关系；(2)可以使用基向量的方法，也可以使用坐标系的方法，把线面垂直归结为向量的计算．法二取BC中点O，连结AO.∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC.∵在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1.(1)向量方法证明空间平行关系的基本途径是：①线线平行：直线与直线平行，只要证明它们的方向向量平行．②线面平行：
8、a．用线面平行的判定定理，证明直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行；b．证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．③面面平行：平面与平面的平行，除了用面面平行的判定定理转化为线面平行外，只要证明两平面的法向量平行即可．(2)向量方法证明空间垂直关系的基本途径是：①线线垂直：直线与直线的垂直，只要证明两直线的方向向量垂直．②线面垂直：a．用线面垂直的定义，证明直线的方向向量与平面内的任意一条直线的方向向量垂直；b．用线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直；c．证明直线的方向向量与平面的法向量平行．③面面垂直：平面与平面的垂直，除了用面面垂直
9、的判定定理转化为线面垂直外，只要证明两平面的法向量垂直即可．即时突破1(1)已知正方体AC1的棱长为1，E、F、G分别为AB、AD、AA1的中点，求证：平面EFG∥平面B1CD1.(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，G为CC1的中点，求证：平面A1BD⊥平面GBD.[例2](2013年高考江苏卷)如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点利用向量求空间角[思维导引]建立空间直角坐标系，求出各点坐标和相关向量坐标．(1)利用两直线的方向
