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《随机变量的期望、方差的计算-华北电力大学成人教育学院.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯精品资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯随机变量的期望、方差的计算方法辛开远，杨玉华与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整的描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。这些数学特征在理论与实践上都具有重要的意义，本文介绍一维随机变量的常用数字特征：数学期望、方差。一、数学期望1．设离散型随机变量X的分布律为：pXxkpk，xk1，2，⋯如果级数xkpk绝对收敛，则称级数xkpk的和为随机变量X的数学期望，即k1k1E(x)xkpkk12．设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分xf(x)dx绝对收敛，
2、则称积分xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望，即E(x)xf(x)dx3．数学期望的性质（1）E(C)C，（C为常数）（2）E(kX)kE(X)，（k为常数，X是随机变量）（3）E(XY)E(X)E(Y)，（X，Y是两个随机变量）（4）若X，Y是相互独立的随机变量，则有E(XY)E(X)E(Y)二、随机变量的函数的数学期望设Y是X的函数，Yg(X)。1．当X是离散型随机变量时，X的分布律为pXxkpk，k1，2，⋯若级数g(xk)pk绝对收敛，则函数Y的数学期望为k1E(Y)E[g(X)]g(xk)pkk12．当X是连续型随机变量时，X的概率密度为f(x)，若积分g
3、(x)f(x)dx绝对收敛，则函数Y的数学期望为E(Y)E[g(X)]g(x)f(x)dx三、方差2设X是一个随机变量，若E[XE(X)]存在，则称它为X的方差，记作D(X)，1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯精品资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯即2D(X)E[XE(X)]则称D(X)为X的均方差或者标准差。1．若X是离散型随机变量，则2D(X)[xkE(X)]pkk12．若X是连续型随机变量，则2D(X)[xE(X)]f(x)dx方差D(X)反映了随机变量X取值分散的程度，D(X)越小，X的取值越集中。3．方差的性质（1）D(X)≥0；（2
4、）D(C)0，（其中C是常数）；2（3）D(kX)kD(X)，其中k是常数，（4）若X，Y是两个相互独立的随机变量，则有D(XY)D(X)D(Y)（5）D(X)0的充分必要条件是p{XC}1，这里CE(X)；22（6）D(X)E(X)[E(X)]常用公式（6）计算方差。四、矩1．X为离散型随机变量kk（1）若E(X)xipi，k1，2，⋯，存在，则称它为X的k阶原点矩。i1kk（2）若E[XE(X)][xiE(X)]pi存在，则称它为X的k阶中心矩。i12．X为连续型随机变量kk（1）E(X)xf(x)dx存在，则称它为X的k阶原点矩。kk（2）若E[XE(X)][xE
5、(X)]f(x)dx存在，则称它为X的k阶中心矩，其中，f(x)为X的概率密度。五、关于两个随机变量的函数Zg(X,Y)的数学期望1．设(X,Y)是二维离散型随机变量，若其分布律为p{Xx,Yy}p，（i,j1，iiij2，⋯），则E(Z)E[g(X,Y)]g(xi,yj)pijj1i1这里，等式右端的级数绝对收敛。2．设(X,Y)是二维连续型随机变量，若其概率密度为f(x,y)E(Z)E[g(X,Y)]g(x,y)f(x,y)dxdy则这里，等式右端的级数或积分绝对收敛。六、协方差和相关系数1．设(X,Y)是二维随机变量，若E[XE(X)][YE(Y)]存在，则称它是
6、X和Y的2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯精品资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯协方差，记作Cov(X,Y)，即Cov(X,Y)E[XE(X)][YE(Y)]（1）当(X,Y)为离散型随机变量时，Cov(X,Y)[xiE(X)][yjE(Y)]pijj1i1（2）当(X,Y)是连续随机变量时，Cov(X,Y)[xE(X)][yE(Y)]f(x,y)dxdy其中，f(x,y)是(X,Y)的概率密度。2．若D(X)＞0，D(Y)＞0，则称Cov(X,Y)xyD(X)D(Y)为X和Y的相关系数。七、例题分析X-202例1．设随机变量X的分布律为，2求
7、：E(X)，E(X)，pD(X)。k0.40.30.3解：E(X)(2)0.400.3202222E(X)(2)0.400.320.32.8222D(X)E(X)[E(X)]2.8(0.2)2.76例2．设随机变量X1,X2的概率密度分别为2x4x2e,x04e,x0fX(x)，fX(x)120,x00,x0求：E(X1X2)，D(X1)，D(X2)。解：E(X1X2)E(X1)E(X2)2x4xx2edxx4edx0011324422D(X1)E(X1)[E(X1)]222x2x1x2edxx2edx00422D(X2)E(X2)[E(
