随机变量的期望、方差的计算-华北电力大学成人教育学院.doc

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1、随机变量的期望、方差的计算方法辛开远，杨玉华与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整的描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。这些数学特征在理论与实践上都具有重要的意义，本文介绍一维随机变量的常用数字特征：数学期望、方差。一、数学期望1．设离散型随机变量的分布律为：，1，2，…如果级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量的数学期望，即2．设连续型随机变量的概率密度为，若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量的数学期望，即3．数学期望的性质（1），（为常数）（2），（为常数，是随机变量）（3），（

2、，是两个随机变量）（4）若，是相互独立的随机变量，则有二、随机变量的函数的数学期望设是的函数，。1．当是离散型随机变量时，的分布律为，1，2，…若级数绝对收敛，则函数的数学期望为2．当是连续型随机变量时，的概率密度为，若积分绝对收敛，则函数的数学期望为三、方差设是一个随机变量，若存在，则称它为的方差，记作，即则称为的均方差或者标准差。1．若是离散型随机变量，则2．若是连续型随机变量，则方差反映了随机变量取值分散的程度，越小，的取值越集中。3．方差的性质（1）≥；（2），（其中是常数）；（3），其中是

3、常数，（4）若，是两个相互独立的随机变量，则有（5）的充分必要条件是，这里；（6）常用公式（6）计算方差。四、矩1．为离散型随机变量（1）若，1，2，…，存在，则称它为的阶原点矩。（2）若存在，则称它为的阶中心矩。2．为连续型随机变量（1）存在，则称它为的阶原点矩。（2）若存在，则称它为的阶中心矩，其中，为的概率密度。五、关于两个随机变量的函数的数学期望1．设是二维离散型随机变量，若其分布律为，（1，2，…），则这里，等式右端的级数绝对收敛。2．设是二维连续型随机变量，若其概率密度为则这里，等式右端

4、的级数或积分绝对收敛。六、协方差和相关系数1．设是二维随机变量，若存在，则称它是和的协方差，记作，即（1）当为离散型随机变量时，（2）当是连续随机变量时，其中，是的概率密度。2．若＞0，＞0，则称为和的相关系数。-2020.40.30.3七、例题分析例1．设随机变量的分布律为，求：，，。解：例2．设随机变量的概率密度分别为，求：，，。解：例3．设二维随机变量具有概率密度,求：，。解：例4．设二维随机变量的分布律为-101-10011求：，，，。解：