多元函数的偏导数ppt课件.ppt

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1、在二元函数z=f(x,y)中,有两个自变量x,y,但若固定其中一个自变量,比如,令y=y0,而让x变化.则z成为一元函数z=f(x,y0),我们可用讨论一元函数的方法来讨论它的导数,称为偏导数.一、偏导数的定义设z=f(X)=f(x,y)在X0=(x0,y0)的某邻域U(X0)内有定义.固定y=y0,在x0给x以增量x.相应函数增量记作称为z在点X0处关于x的偏增量.定义则称这个极限值为z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数.即此时也称f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数存在.否则称f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数不存在.

2、类似,若固定x=x0,而让y变,z=f(x0,y)成为y的一元函数.则称它为z=f(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数.即若z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处时x的偏导数都存在,即(x,y)D,存在.此时,它是x,y的二元函数.称为z对x的偏导函数.简称偏导数.类似定义z对y的偏导函数.1.由偏导数定义知,所谓f(x,y)对x的偏导数,就是将y看作常数,将f(x,y)看作一元函数来定义的.注因此,在实际计算时,求f'x(x,y)时,只须将y看作常数,用一元函数求导公式求即可.求f'y(x,y)时,只须将x看作常数,用一元函数求导公

3、式求即可.2.f'x(x0,y0)就是f'x(x,y)在点(x0,y0)的值.算f'x(x0,y0)可用3种方法.f'y(x0,y0)f'y(x,y)f'y(x0,y0)(1)用定义算.(2)先算f'x(x,y),再算f'x(x0,y0)f'y(x,y),f'y(x0,y0).(3)先算f(x,y0),再算f'x(x,y0)再算f'x(x0,y0)f(x0,y),f'y(x0,y),f'y(x0,y0).例1.解:或f(x,2)=x2+6x+4,f'x(x,2)=2x+6,故f'x(1,2)=2+6=8.例2.解:例3.解:偏导数的概念可推广到三元

4、以上函数中去.比如,设u=f(x,y,z).它的求法,就是将y,z均看作常数来求即可.例4.解:由一元函数的导数的几何意义,可以得到偏导数的几何意义.设z=f(x,y)在点X0=(x0,y0)处的偏导存在,记z0=f(x0,y0).点M0(x0,y0,z0)则二、偏导数的几何意义f'x(x0,y0)就是以平面y=y0与曲面z=f(x,y)相截,得到截线1.1上点M0(x0,y0,z0)处切线对x轴的斜率.而f'y(x0,y0)就是以就是以平面x=x0与曲面z=f(x,y)相截,得到截线2.2上点M0(x0,y0,z0)处切线对y轴的斜率.故

5、只须搞清一元函数f(x,y0)的几何意义.就可得到f'x(x0,y0)的几何意义.以平面y=y0与曲面z=f(x,y)相截,得截线1:z=f(x,y)y=y0也就是z=f(x,y0).且M0(x0,y0,z0)在1上.即z=f(x,y0)表示平面y=y0与曲面z=f(x,y)的交线1.z=f(x,y0)上点M0处的切线对x的斜率.如图yxzoz=f(x,y)X0M0即f'x(x0,y0)表示y=y0与z=f(x,y)的交线在M0处的切线对x的斜率.T11:z=f(x,y0)1y0yxzoz=f(x,y)M0X022:z=f(x0,y

6、)类似得f'y(x0,y0)的几何意义.如图即f'y(x0,y0)表示x=x0与z=f(x,y)的交线在M0处的切线对y的斜率.x0T2在一元函数中,可导必连续,但对多元函数不适用.即,对多元函数f(X)而言,即使它在X0的对各个自变量的偏导数都存在,也不能保证f(X)在X0连续.三、偏导与连续的关系例5.设证明z=f(x,y)在(0,0)的两个偏导都存在,但它在(0,0)不连续.证:前边已证z=f(x,y)在(0,0)的极限不存在,因此它在(0,0)不连续.=0=0故z=f(x,y)在(0,0)的两个偏导都存在,但它在(0,0)不连续.下证z=

7、f(x,y)在(0,0)的两个偏导都存在.从几何上看,f'x(x0,y0)存在.只保证了一元函数f(x,y0)在x0连续.也即y=y0与z=f(x,y)的截线1在M0=(x0,y0,z0)是连续的.同理,f'y(x0,y0)存在.只保证了x=x0与z=f(x,y)的截线2在M0连续.但都不能保证曲面z=f(x,y)在M0连续.换句话说,当X从任何方向,沿任何曲线趋于X0时,f(X)的极限都是f(X0).显然,上边两个条件都不能保证它成立.例.易知,f(x,y)在(0,0)的两个偏导都存在,且为0.但它在(0,0)不连续.如图yxzo§1－4多元

8、函数的微分一般说来,算这个改变量较麻烦,希望找计算它的近似公式.该近似公式应满足(1)好算.(2)有起码的精度.在实际中,