多元函数的偏导数.ppt

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1、第四节　偏导数一、偏导数的概念二、高阶偏导数第二模块函数的微分学称为函数z对x的偏增量，一、偏导数的概念１．偏导数的定义定义则增量记为xz，如果当时，比值的极限存在，即则称此极限值为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，记作即同样，z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数定义为记作或其中称为函数z对y的偏增量.如果f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数是x,y的函数，此函数称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数，记作可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导函数，类似地，记作在不致混淆的情况

2、下，偏导函数也称偏导数.2.偏导数的求法例1在点(2,1)处的两个偏导数.解因为所以例2求证：证明因为将它们代入等式左边得所以例3求证：证明代入等式左边得所以有例5已知气态方程PV=RT(R是常数)，求证证明所以这个例子说明：偏导数的记号是一个整体，不能看成z与x或z与y之商.代入等式左边得例6设类似地可以求得必须分别按定义计算，求g(x,y)在(0,0)处的两个偏导数，解3.偏导数的几何意义我们知道一元函数y=f(x)的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,y0)处切线的斜率，而二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数，因此二元函数

3、z=f(x,y)的偏导数的几何意义也是曲线切线的斜率.实际上就是一元函数z=f(x,y0)及z=f(x0,y)分别在点x=x0及y=y0处的导数．在点(x0,y0,f(x0,y0))处的切线的斜率，在点(x0,y0,f(x0,y0))处的切线的斜率,同理是曲线二、高阶偏导数函数z=f(x,y)的两个偏导数一般说来仍然是x,y的函数，如果这两个函数关于x,y的偏导数也存在，则称它们的偏导数是f(x,y)的二阶偏导数.依照对变量的不同求导次序，二阶偏导数有四个：其中及称为二阶混合偏导数.类似的，可以定义三阶、四阶、…、n阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导

4、数，称为函数f(x,y)的一阶偏导数.例7求函数的所有二阶偏导数.解所以本例中，=这不是偶然的，有下述定理：定理如果函数z=f(x,y)在区域D上两个二阶混合偏导数、连续，则在区域D上有即当二阶混合偏导数在区域D上连续时，求导结果与求导次序无关，证明从略.这个定理也适用于三元及三元以上的函数.例8试求，.解验证了例9解因为所以xyxyzzxyz×++e)1(.e)31(222xyzzyxxyz++=