第二章 单自由度系统的自由振动ppt课件.ppt

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1、第二章单自由度系统的自由振动振动理论与测试技术88学时讲课教师殷祥超中国矿业大学力学与建筑工程学院力学与工程科学系二○一四年八月第二章单自由度系统的自由振动§2.1单自由度力学模型和基本概念（2）基本系统和力学模型质量——弹簧系统是单自由度系统的基本力学模型。（1）振动系统的自由度数:能完全确定系统在空间的几何位置所需要的独立座标的数目。只需一个独立坐标就可完全确定的其几何位置系统，称为单自由度系统。单自由度系统的力学模型惯性元件，惯性力弹性元件，弹性力阻尼元件，阻尼力静平衡时实际振动系统的简化拖拉机驾驶员的胃

2、的垂直振动质量弹簧系统根据振动形式的不同，独立座标可以选取线位移或者角位移来表示。其它形式的振动系统描述系统的广义坐标对应于广义坐标的广义激振力对于不同的广义坐标，采用：等效质量等效阻尼系数等效刚度本章研究：1、振动系统的固有频率2、系统在初始条件下的响应3、有阻尼系统的自由振动§2.2单自由度无阻尼系统的自由振动令：标准形式通解为：或者：式中为任意常数，由初始条件确定。简谐振动振幅：A相位：初相位：圆频率：弧度／秒（rad/s）质量弹簧系统无阻尼自由振动（固有振动）的特性：1、简谐振动。2、振动频率仅与系统本身

3、的固有参数有关，称为系统的固有频率。3、振幅A，相位由初始条件确定。初始条件：带入求得：通解为：例2-1提升系统匀速下降试求：绳的上端突然被卡住时重物的振动频率、振动规律及钢丝绳中的最大张力。解：系统的振动频率为：系统的振动规律为：其中振幅为：钢丝绳中最大张力等于静平衡时的张力和振动引起的动张力之和：其中动张力例2-2复摆已知：质量为m，转动惯量为Io，求：复摆的运动微分方程及微幅摆动的周期T。解：由刚体定轴转动微分方程得非线性方程微幅摆动时化为标准形式：线性方程系统的固有频率微幅摆动的周期复摆的振动微幅摆动的周

4、期复摆法测量物体转动惯量的原理：由平行轴定理复摆的振动扭振系统例2-3扭振系统已知：杆件的直径为d，长度为l，材料的剪切模量为G，圆盘的转动惯量为I。试求：系统的固有频率。解：由材料力学理论可知为扭转刚度系数由达朗伯原理扭振系统的固有频率为：例2-4测振仪，已知试建立该系统的运动微分方程，并求系统的固有频率。解：单自由度系统取为广义坐标系统的拉格朗日函数为：微幅振动时：带入拉格朗日方程得到：化为标准形式：系统的固有频率为：质量弹簧系统§2.3固有频率的计算一、静变形法静变形由静平衡条件：系统的固有频率为：弹簧的刚

5、度系数：静平衡位置弹簧原长位置例2-5质量为m的物体从高处h自由落下，与一根抗弯刚度为EI、长l的简支梁作完全非弹性碰撞。如不计梁的质量，求梁的自由振动的频率和最大挠度。解：静变形梁的自由振动频率为：设撞击时刻为零时刻则：自由振动的振幅为：梁的最大挠度则为：二、能量法保守系统系统的动能系统的势能将T、U带入得到：即：势能是一个相对量。取系统静平衡位置处的势能为零点，即U=0平衡位置T=TmaxU=0最大位移处U=UmaxT=0机械能守恒例2-6无定向摆系统已知：试用能量法确定其固有频率。解：以摇杆偏离平衡位置的角

6、位移为广义坐标设：则：最大动能为：最大势能为：总势能为：1-摇杆2-摆轮微幅摆动时：系统的固有频率为：带入数据得到例2-7一个重量为W、半径为r的均质圆柱体在一个半径为R的圆柱面内作无滑动滚动。求:圆柱体在平衡位置附近作微幅振动的微分方程和固有频率。解：带入得到即：系统的固有频率为：三、瑞利（Rayleigh）法考虑弹性元件的分布质量对系统固有频率的影响首先对弹性元件在振动过程中的形态作出假设，一般称为振型函数。如果假设的振型与实际振型比较接近，将得到相当准确的固有频率值。例2-8振动物体的质量为m，弹簧的原长为

7、l，单位长度质量为，刚度系数为k，试求系统的固有频率。解：微段微段的动能弹簧质量的动能：整个系统的动能为：系统的最大动能为：系统的最大动能为：系统的最大势能为：得到：近似解与精确解的相对误差为0.5%；近似解与精确解的相对误差为0.75%；近似解与精确解的相对误差为3%。例2-9已知：均质简支梁求：系统的固有频率。解：假设梁的动挠度曲线——振型曲线与静挠度曲线一致。梁中点的静挠度梁的动挠度曲线可假设为：梁中点的动挠度弹性梁的动能为各微段dx的动能之和系统的总动能：动能的最大值：弹性梁的势能最大值为：弹性梁的等效刚

8、度系数：对简支梁计入质量的影响，只要将梁质量的17/35集中在梁的中点，梁就可以简化为质量弹簧系统。等截面悬臂梁在自由端的等效质量为瑞利法计算系统的固有频率时，必须先假定系统弹性元件的振型。假定的振型通常与真实振型存在着差异，这相当于对系统附加了某些约束，因而增加了系统的刚度，使得求出的固有频率略高出精确值。假定的振型越接近于真实振型，瑞利法算出的固有频率就越精确。实践证