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1、第2章一元函数微分学及其应用第1节导数的概念第2节求导基本法则第3节微分第4节微分中值定理及其应用第5节Taylor定理及其应用第6节函数性态的研究第2节求导基本法则1函数的求导法则、初等函数的求导问题2高阶导数由参数方程所确定的函数的求导法则5相关变化率问题3隐函数求导法(定义)求导法则其它基本初等函数求导公式证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题1函数的求导法则、初等函数的求导问题定理2.1的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x可导,且(C为常数)和、差、积、商的求导法则此法则可推广到任意有限项的情形.证:设,则故结论成立.例如,(2)证:设则有故结论成立.推论
2、:(C为常数)(3)证:设则有故结论成立.推论:(C为常数)例1求证证类似可证:反函数求导法则定理2.3证在x处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知因此例2求反三角函数及指数函数的导数.解1)设则类似可求得利用,则2)设则特别当时,小结复合函数的链式法则链式法则关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.证在点u可导,故（当时)故有例3解例4解例5求下列导数:解(1)(2)说明:类似可得例6设解记则(反双曲正弦)的反函数初等函数的求导问题由前面得到的基本初等函数的求导公式以及运算法则，可以得到全体初等函数的导数见课本102页四则运算复合函数反函数基本导数公式（基本初等
3、函数的导数公式）幂指函数的导数例7求下列导数:解(1)EX求下列函数的导数6.设其中可导,求1.解:解:解:解:关键:搞清复合函数结构由外向内逐层求导5.解:6.设解:其中可导,求定义若函数的导数可导,或即或的二阶导数,记作的导数为则称2高阶导数1、高阶导数的概念类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或依次类推,分别记作设求解依次类推,例1思考设问可得直接法--由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例2设求解特别有:解规定0!=1思考例3设求注意：求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)例4解同理可
4、得例5解莱布尼兹（Leibniz）公式2、高阶导数的运算法则用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立.例6解例7.设求解即用莱布尼兹公式求n阶导数令得由得即由得常用高阶导数公式间接法:利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.例8解例9解降幂(1)直接法——逐阶求导法利用归纳法(2)间接法——利用已知的高阶导数公式(3)利用莱布尼兹公式高阶导数的求法1.如何求下列函数的n阶导数?解解练习练习证明解3.隐函数求导法则定义:隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.例1解解得由方程确定,解方程两边
5、对x求导,得再求导,得②当时,故由①得再代入②得求①例2设解例3EX.解所求切线方程为显然通过原点.多个函数乘积的导数——对数求导法对数求导法的步骤:1.两端取绝对值之后,再取自然对数.2.等式两端分别对自变量求导.例4先对函数取对数,得解再对上式两边分别求对数,得整理后得到例5解等式两边取对数得4.由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数由复合函数及反函数的求导法则得例6已知注意:解EX.解例7设由方程确定函数求解方程组两边对t求导,得故例8解相关变化率问题2.方程F(x,y)=0两边对t求导,得到与的关系式.相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?解决
6、这类问题的一般途径是:1.先建立x,y之间的函数关系F(x,y)=0;例1解t时刻例2解仰角增加率隐藏小结相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;解法:通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解.谢谢
