曲线积分与曲面积分练习题.doc

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1、练习题(曲线积分与曲面积分)1．设是从点沿曲线到点的弧段,则第一类曲线积分的值为_____________,第二类曲线积分的值为_____________.2．设是从点沿曲线到点的弧段,则第一类曲线积分的值为_____________,第二类曲线积分的值为_____________.3．设有曲线积分其中L为椭圆并取正向，则I的值为_____________.4.设是逆时针方向环绕原点的简单光滑闭曲线，试计算积分和.5.设有从点到点再到点的折线L.求积分.6.求空间曲线上从到一段的弧长.7.计算，其中是螺线上从点到的一段.8．设曲线积分与路径无关,则_______,_______,_

2、______.9.验证是某函数的全微分，并求此函数的表达式.10.设函数在内具有一阶连续导数，L是上半平面()内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点为.记(1)求证：曲线积分与路径无关；(2)当时，求的值.11．确定常数，使在右半平面上的向量值函数为某二元函数的梯度.12．设具有二阶连续导数，，且为全微分方程，求.13.设在全平面上有连续的一阶偏导数,且曲线积分与路径无关,又对任意的,,试求的表达式.14.设是区域的边界的正向.求证：.15.设是平面上的一个不含原点的有界闭区域，其面积为.又设曲面.求证:曲面的面积.16．计算，其中S为球面17.计算曲面积分，其中为上半球面，为球面外

3、法线的方向余弦.18.计算其中是边长为的正立方体的表面并取外侧.19．计算曲面积分其中为连续函数，为平面在第一卦限部分的上侧.20．计算：其中是球面：的上半部分的下侧。21.用化成二重积分和利用Gauss公式这两种方法来计算第二类曲面积分，其中是半球面，积分沿的关于Z轴的上侧.22.计算曲面积分其中(1)是球面的外侧;(2)是半球面的上侧;23.质点P沿以AB为直径的半圆周(位于直径AB之下)从点A(1,2)运动到点B(3,4).在这一过程中,质点P受变力作用,的大小等于点P到原点O的距离,的方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于,求变力对质点P所做的功.24．设圆锥面()上分布

4、有质量，假设其上各点的面密度与该点到原点的距离成正比(比例系数为),求的质量.25.设某流速场的速度矢量，求穿过曲面（）的流量，其中的法线方向与轴正向的夹角为钝角.26．设，求向量场的散度.27．设，求.28．设有向量场，求向量场的散度和旋度.