线性代数期末模拟试题I.doc

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1、线性代数试题一、填空（本题共5小题，每小题3分，共15分）1．设，，则--------------。2．若，则--------------------。3．阶矩阵的第一行与第一列的元素均为1，其余元素全为0，则---------------------。4．已知三阶方阵的特征值分别为，则-------------------。5．线性方程组的基础解系中元素个数为-------------------。二、单项选择（本题共5小题，每小题3分，共15分）1．行列式中的代数余子式为-------------。（A）；（B）；（C）；（D）。2．设为同阶可逆方阵，则的逆为-----

2、-----------。（A）；（B）；（C）；（D）。3．若向量，，线性相关，则---------------。（A）；（B）；（C）；（D）。4．设矩阵，则的属于特征值的特征向量为----------------。（A）；（B）；（C）；（D）。5．二次型是---------------------。（A）正定二次型；（B）负定二次型；（C）半正定二次型；（D）不定二次型。得分三、计算（本题共6小题，每小题6分，共36分）1．求行列式的值。2．求行列式的值。3．设，且，为三阶矩阵，求。4．求矩阵的特征值，并求绝对值最小的特征值所对应的全部特征向量。5．设，求矩阵的秩。6

3、．设向量，，用施密特正交化方法，求一个规范正交基。四、证明（本题共3小题，每小题7分，共21分）1．设为非齐次线性方程组的一个解，为对应齐次线性方程组的基础解系，证明向量组线性无关。2．若阶方阵满足，证明。3．若都是阶可逆矩阵，且相似，则与也相似。五、综合（本题共1小题，共13分）取何值时，方程组有唯一解、无穷解、无解，有解时求出解。线性代数试卷参考答案及评分标准一、填空（每小题3分，共15分）1．24；2．；3．2；4．；5．4。二、单项选择（每小题3分，共15分）1．（A）；2．（C）；3．（A）；4．（B）；5．（A）。三、计算（每小题6分，共36分）1．解：原式（5

4、）。（6）2．解：原式（4）。（6）3．解：，，。（4）故。（6）4．解：，特征值为。（3）当特征值为0时，有，同解方程组为，通解为。（6）5．解：（4），秩为4。（6）6．解：正交化：，。（4）单位化：，。（6）四、证明（每小题7分，共21分）1．证明，反证，若线性相关，即存在不全为零的数，使得（2）则，否则由于为基础解系，将导致，与假设矛盾；若成立，又有成立，即为的解，与已知矛盾。（7）2．证明：设，由有，即为方程组的解。（4）设，则的基础解系中向量个数为，即，从而。（7）3．证明：若相似，存在可逆矩阵，使得。（3）故，即与相似。（7）五、综合（共1小题，13分）解：系

5、数行列式。1）当时，该方程组有唯一解，且解为。（7）2）当时，，系数矩阵与增广矩阵秩相同，有无穷解，通解为。（10）3）当时，，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，无解。（13）