错位相减法的运用.doc

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1、错位相减法的运用错位相减法是一种常用的数列求和方法，形如的数列，其中{}为等差数列，为等比数列；分别列出，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即；然后错一位，两式相减即可。适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。典型例题：例1.（2012年四川省文12分）已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，，当为何值时，数列的前项和最大？【解析】（I）由题意，n=1时，由已知可知，分类讨论：由=0及，结合数列的和与项的递推公式可求。（II）由且时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项。【答案】解：（Ⅰ）取n=1，得，∴。若=

2、0，则=0,当n时，。若，则，当n时，，，两个相减得：，∴。∴数列公比是2的等比数列。综上所述，若=0,则；若，则。（Ⅱ）当且时，令，则。∴是单调递减的等差数列（公差为－lg2）则b1>b2>b3>…>b6=；当n≥7时，bn≤b7=。∴数列{lg}的前6项的和最大，即当=6时，数列的前项和最大。【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识，分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。例2.（2012年天津市理13分）已知{}是等差数列，其前项和为，{}是等比数列,且=，，.(Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式；(Ⅱ)记，，证明.【分析】（Ⅰ）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公

3、差，即可求出通项。（Ⅱ）写出的表达式，借助于错位相减求和。还可用数学归纳法证明其成立。【答案】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由=，得。由条件，得方程组，解得。∴。(Ⅱ)证明：由（1）得，①；∴②；由②－①得，∴。【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列和等比数列的通项公式。例6.（2012年江西省理12分）已知数列的前项和（其中），且的最大值为。（1）确定常数，并求；（2）求数列的前项和。【解析】（1）由二次函数的性质可知，当n＝时，取得最大值，代入可求，然后利用可求通项，要注意不能用来求解首项，首项一般通过来求解。（2）设bn＝＝，可利用错位相减求和即

4、可。【答案】解：（1）当n＝时，Sn＝－n2＋kn取最大值，即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，∴k2＝16，∴k＝4。∴＝－n(n≥2)。又∵a1＝S1＝，∴an＝－n。（2）∵设bn＝＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋＋＋…＋＋，∴Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－＝4－－＝4－。【考点】数列的通项，递推、错位相减法求和，二次函数的性质。