高等数学习题及答案解析.doc

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1、高等数学习题及答案一、填空题（每小题3分，共21分）1．设为常数，则.2．函数在点处，沿从点到点的方向的方向导数是.3．设有向量场，则.4．二重积分交换积分次序后为.5．幂级数的收敛域为.6．已知，而，则7．三重积分3，其中是由所围成的立体.二、计算题（一）（每小题7分，共21分）1．设的夹角为，向量相互垂直，求.解：由得2．求过点且与直线垂直的平面方程.解：直线的方向向量为取平面的法向量为，则平面方程为即3．曲面上哪一点处的法线平行于向量？并求出此法线方程.解：设曲面在点处的法线平行于，令则在点处曲面的法向量为由此解得

2、，代入曲面方程，解得的坐标为，用点向式即得所求法线方程为三、计算题（二）（每小题7分，共21分）1．设，其中为可导函数，求解：2．将函数展成的幂级数，并求的和.解：并在内收敛。3．求微分方程的通解.解：令，原方程化为四、计算题（三）（每小题8分，共24分）1．求曲线积分的值，其中的正向.解：记所围成的区域为，利用格林公式得2．求微分方程的通解.解：对应的齐次方程为，它的特征方程为，其根为，该齐次方程的通为。因是特征方程的单根，所以设原方程的一个特为代入原方程得，于是，求得原方程的通解为3．计算曲面积分，其中为锥面与平面所

3、围立体表面的外侧.解：记则故五、应用题（共7分）设一矩形的周长为,现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及柱体体积.解：设矩形的两边长分别为由题设，不妨设矩形绕长度为的一边旋转，则圆柱体体积为作拉氏函数解方程组，得驻点所以最大圆柱柱体体积为对应的矩形面积为六、证明题（共6分）设单调减少趋于零，证明：级数收敛.证明：因单调减少，所以也单调减少又所以，则交错级数判别法知收敛。