高等数学习题册部分答案及解析

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1、高等数学1・对于数列伉｝;1试证明limx2k=limx2U“TOO"TOO=dolimxf7=a，HT8以此说明｛（・1）〃（1+丄）｝為极限不存在。n解：充分性显然成立必要性・.・limp人=a:.对Vg>0,北>0,当£>心时,有・a<£77—>00同理我2>0,当£>©时，有xik<£成立，取K=maxR,©｝，当k>K时有卜22-询“和

2、g-d

3、取N=2K,当n〉N时，有卜“-tzl<城立，••.limx2k-limx2^j=aolimxn=a得证。“TOC"TOOH—>oo当n=2k时,xn=1+—limx2k=1，当〃=2k-1时,xn=-(1+—)n—conli

4、mx2kA=-l?.极限不存在。n—>oo2.对于数列©〃「试证明limUn=a^limUn=lai。A?T8〃一>8''证明：•・•limU”=a,对于>0,3N>0,当〃>N时，有Un-a<£成立"TOO1

5、

6、t/J-pz

7、

8、

9、(/J-

10、6z

11、<£成立limun=a13询豆（冇一k）7则心A）A.1B.-lC.0D.都不对4limx->0tanx-sinxsin2x—l-cosx"HP茹T2sin2

12、・Xsin—=lim2*（—^）2（xtOA亠）2sinx425・lim（x+K）'x->0=lim0（i+-r）rgoe竺2"iim[（i+¥

13、）；Fa->oeP36.设数列满足：X]>0,兀“+i=—（兀”4）,（/?=1,2,2£)，证明该数列收敛，并求lim兀舁TOO证明：X/J+I=£(兀”+—)>I成立,2心又•・•=^-(—-xn)<0(n>2心.•・从第二项起，若X]HI,则｛兀“｝递.••｛七｝从第二项起单调有界，；.｛x,若X.=1,则乙=1,该数列收敛，Ikx->7已知/X0)=0,下列哪个条件可以得至旷⑴在兀=0处连续?(B)AJim/（cosii）=oxtOfilim/（sinx）=0xtOcjim/（/・i）=oxt（）Dlim足）=oxtO兀8.设/（Q在［a,b］上连续，a

14、

15、数的二阶导数譽解：两边同吋求导y=R+yRd.•.），'=—1-e■x两边取对数lny'=y-in(l-eyx)求导丄y”y(1・宀)2+(1・宀尸11.证明方程2”■〒二1有冃只有三个实数根证明:^f(x)=2V-X2・1,假设方程有四个根为T]

16、/?上连续可导.••必存在去e(%，知使厂(兌)=。,・・・f'x)=2Ti?2〉o.・.假设不成立。/./(x)=0至多有三个根，又•・•/(0)=/(I)=0,M/(4)<0,/(5)>(V./⑴至少有3个根综上，该方程有且只有三个实数根。13•设FOW⑴的一个原函数，且尸(1)=%,加*)=鬻岳求蚀.解：J?{x)F{x)dx=Jf(x}Fx)dx=jF(x)JF(x)=yF2(x)4-Cj/(x)F(x)tZv=不dx，令r=航=>乂=/?2扣ctantdarctanr=(arctant)2+C/TF2(%)=(arctanV^)2+C代入F(l)=兀得C=04二F(

17、x)=y/larctan、AT/(x)=-―-t=2(1+x)Vx14•数列｛X」有界，lim儿二0,贝

18、Jlimy”£=0・/?—>00H—>00(附：数列极限定义的“£-N”语言：对任一给定的正数£若存在正整数N,使当n>N时，恒有

19、Xn-A

20、

21、Xn

22、N时有I几-0

23、二

24、儿

25、Y三M从而此时有：xfly^—9M=8M•-lim儿兀尸0・・（指数有二次方，底数却为