必修四平面向量专题.doc

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1、平面向量的基本概念与线性运算__________________________________________________________________________________1、了解向量、向量的相等、共线向量等概念；2、掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．3、熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则.*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1一、平面向量的概念：1、平面向量：在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既

2、有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作．图7－22、向量的模长：向量的大小叫做向量的模．向量a,的模依次记作，．3、零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．4、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．5、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫

3、做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．6、相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．7、相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．二、平面向量的基本运算：一般地，a＋b叫做a,b的一个线性组合（其中,均为系数）．如果l＝a＋b，则称l可以用a，b线性表示．向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．1、三角形法则：位移叫做位移与位移的和，记作=+．一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A(如图7－6)，依次作=a,=b，则向量叫做向量a与向量

4、b的和，记作a＋b，即a＋b=＋=（7．1）求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则．2、平行四边形法则：如图7－9所示，ABCD为平行四边形，由于=，根据三角形法则得＋=＋=这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：（1）a＋0=0＋a=a；a＋（−a）=0；（2）a＋b=b＋a；（3）（a＋b）＋c=a＋（b＋c）．3、平面向量减法法则：与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b

5、的差．即a−b=a＋(−b)．设a，b，则．即=（7．2）观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、b，其差a－b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a的终点．一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的模为（7．3）若0，则当＞0时，a的方向与a的方向相同，当＜0时，a的方向与a的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当时，有（7．4）一般地，有0a=0,0=0．　　　　数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a,b及任意实数，向量数乘运算满足如下的法则：题型1　平面向量的基本概念例1　给

6、出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若

7、a

8、＝

9、b

10、，则a＝b；③若＝，则A、B、C、D四点构成平行四边形；④在ABCD中，一定有＝；⑤若m＝n，n＝p，则m＝p；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.其中错误的命题有________．(填序号)例2在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点．（1）找出与向量相等的向量；（2）找出向量的负向量；（3）找出与向量平行的向量．练习：1．如图，ABC中，D、E、F分别是三边的中点，试写出（1）与相等的向量；（2）与共线的向量．第2题图2．如图，O点是正六边形ABCDEF的中心，试写出（1）与相等的

11、向量；（2）的负向量；（3）与题型2　向量的线性表示例3一艘船以12km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5km/h，求该船的实际航行速度．*例4用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k，两条绳子与垂线的夹角为，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力与的大小．练习：1．如图，已知a，b，求a＋b．2．填空（向量如图所示）：（1）a＋b=_____________,（2）b＋c=_____________,（3）a＋b＋c=_____________．3．计算：（1）＋＋；（2）＋＋．例5已知如图7－14（1）所示向量a、b，请