第一讲 分解方法的延拓-----换元法与主元法.doc

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1、第一讲分解方法的延拓——换元法与主元法一、知识点归纳因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，

2、则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多巧式分解因式后的结果：（1）；(2)二、例题讲解换元法分解因式【例1】分解因式：（1）=．(第12届“五羊杯”竞赛题)(2)；（第13届“五羊杯”竞赛题）（3）【例2】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x＋2)(x+3)(x+6)+x2；(天津市竞赛题)(2)(x+y－2xy)(x+y－2)＋(xy－1)2；(“希望杯”邀请赛试题)(3)【例3】利用十字相乘法因式分解(1)1999x2一(19992一1)x一1999；(重庆市竞赛题

3、)(2)【例4】整体思想分解(2x－3y)3十(3x－2y)3－125(x－y)3．(第13届“五羊杯”竞赛题)主元法分解因式【例5】多项式因式分解后的结果是()．A．(y－z)(x+y)(x－z)B．(y－z)(x－y)(x＋z)C．(y+z)(x一y)(x+z)D．(y十z)(x+y)(x一z)【例6】把下列各式分解因式：(1)a2(b一c)+b2(c－a)+c2(a一b)(2)x2+xy－2y2－x+7y－6．（3）（4）【例7】分解因式：【例8】证明：对任何整数x和y，下式的值都不会等于33．（分组分解法）x5+3x4y－5x

4、3y2一15x2y3+4xy4+12y5．三、练习巩固1．分解因式：(x2+3x)2-2(x2+3x)－8＝．2．分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12=．3．分解因式：x2－xy－2y2－x－y=．(2001年重庆市中考题)4．已知二次三项式在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m的可能取值为．5．(2001年北京中考题)将多项式分解因式，结果正确的是（）．A．B．C．D．6．下列5个多项式：①；②；③；④；⑤其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（）．A．①、②、③B．②、③、④C．①③、④、⑤D．①、②、④7．

5、下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是()．A．B．C．D．(第13届“希望杯”邀请赛试题)8．若，，则的值为()．A．B．C．D．0(大连市“育英杯”竞赛题)9.分解因式一：（1）（2）（3）（4）10.分解因式二（1）（2）（3）(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2；(4)(2x2－3x+1)2一22x2+33x－1；(5)(6x－1)(2x－1)(3x－1)(x－1)+x2；11.分解因式三（1）（2）（3）（4）(5)x4+2001x2+2000x+2001；(6)；10．分解因式：=．11．分解因式：=

6、．12．分解因式：=．（第15届“五羊杯”竞赛题）13．在1~100之间若存在整数n，使能分解为两个整系数一次式的乘积，过样的n有个．(北京市竞赛题)14．的因式是()A．B．C．D．E．15．已知，M=，N=，则M与N的大小关系是()A．MNC．M＝ND．不能确定(第13届“希望杯”邀请赛试题)16．把下列各式分解因式：(1)；(2)；(湖北省黄冈市竞赛题)(3)；(天津市竞赛题)(4)．(天津市竞赛题)17．已知乘法公式：；．利用或者不利用上述公式，分解因式：(“祖冲之杯”邀请赛试题)18．已知在ΔABC中，(a、b、

7、c是三角形三边的长)．求证：(天津市竞赛题)