用换元法分解因式

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1、用换元法分解因式我们的课本中介绍了对一个多项式进行因式分解的很多方法，比如提公因式法、运用公式法、分组分解法等等，这些方法都是最基础的因式分解方法.一些同学在解答课外题时，往往感到只用这些方法还是有点力不从心，于是他们纷纷找到李老师，请她“再传授几招，以便能够解答更多类型的因式分解题目”.李老师欣然应允，当场就为同学们介绍了一种因式分解的常用方法——换元法.李老师把换元法分解因式分成了三种情况：一、换单项式例1分解因式x6+14x3y+49y2.分析：注意到x6=（x3）2，若把单项式x3换元，设x3=m，则x6=m2，原式变形为m2+14my+49y2=(m+7y)2=(x3

2、+7y)2.二、换多项式例2分解因式(x2+4x+6)+(x2+6x+6)+x2.分析：本题前面的两个多项式有相同的部分，我们可以只把相同部分换元，设x2+6=m，则x2+4x+6=m+4x，x2+6x+6=m+6x，原式变形为(m+4x)(m+6x)+x2=m2+10mx+24x2+x2=m2+10mx+25x2=(m+5x)2=(x2+6+5x)2=[(x+2)(x+3)]2=(x+2)2(x+3)2.第3页共3页以上这种换元法，只换了多项式的一部分，所以称为“局部换元法”.当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了“整体换元法”.比如，设x2+4x+6=m

3、，则x2+6x+6=m+2x，原式变形为m(m+2x)+x2=m2+2mx+x2=(m+x)2=(x2+4x+6+x)2=(x2+5x+6)2=[(x+2)(x+3)]2=(x+2)2(x+3)2.另外，还可以取前两个多项式的平均数进行换元，这种换元的方法被称为“均值换元法”，可以借用平方差公式简化运算.对于本例，设m=[(x2+4x+6)+(x2+6x+6)]=x2+5x+6，则x2+4x+6=m-x，x2+6x+6=m+x，(m+x)(m-x)+x2=m2-x2+x2=m2=(x2+5x+6)2=[(x+2)(x+3)]2=(x+2)2(x+3)2.例3分解因式(x-1)(

4、x+2)(x-3)(x+4)+24.分析：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，使之转化成为两个多项式的乘积.无论如何分组，最高项都是x2，常数项不相等，所以只能设法使一次项相同.因此，把(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组为[(x-1)(x+2)][(x-3)(x+4)]=(x2+x-2)(x2+x-12)，从而转化成例2形式加以解决.我们采用“均值换元法”，设m=[(x2+x-2)+(x2+x-12)]=x2+x-7，则x2+x-2=m+5，x2+x-2=m-5，原式变形为(m+5)(m-5)+24第3页共3页=m2-25+24=m2-1=(m+1

5、)(m-1)=(x2+x-7+1)(x2+x-7-1)=(x2+x-6)(x2+x-8)=(x-2)(x+3)(x2+x-8).三、换常数例3分解因式x2(x+1)-2003×2004x.分析：此题若按照一般思路解答，很难奏效.注意到2003、2004两个数字之间的关系，把其中一个常数换元.比如，设m=2003，则2004=m+1.于是，原式变形为x2(x+1)–m(m+1)x=x[x(x+1)-m(m+1)]=x(x2+x-m2-m)=x[(x2-m2)+(x-m)]=x[(x+m)(x-m)+(x-m)]=x(x-m)(x+m+1)=x(x-2003)(x+2003+1)=

6、x(x-2003)(x+2004).以上介绍的是用换元法因式分解的初步知识，同学们在以后解题时可以多分析题目的结构特点，灵活运用各种因式分解的方法.也可以多进行一题多解的训练，达到举一反三的目的.最后，就请同学们思考一下：刚才举的几道例题，还有没有其他解法？如果有的话，赶快把你的新解法写出来吧.第3页共3页