因式分解换元法练习题

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1、精品文档因式分解换元法练习题第一讲因式分解多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：a2-b2=；a2±2

2、ab+b2=2；a3+b3=；a3-b3=．下面再补充几个常用的公式：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=2；a3+b3+c3-3abc=；2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创15/15精品文档an-bn=其中n为正整数；an-bn=，其中n为偶数；an+bn=，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1分解因式：-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；x3-8y3-z3-6xyz；a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；a7-a5b2+a2b5-b7．解原式

3、=-2xn-1yn=-2xn-1yn[2-2x2ny2+2]=-2xn-1yn2=-2xn-1yn22．原式=x3+3+3-3x=．原式=++c2＝2+2c+c2=2．本小题可以稍加变形，直接使用公式，解法如下：原式=a2+2+c2+2c+2ca+2a=22016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创15/15精品文档原式=+=a5+b5===2例分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式．分析我们已经知道公式3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=3-3ab．这个式也是一个常用的公式，本

4、题就借助于它来推导．解原式=3-3ab+c3-3abc=［3+c3］-3ab=［2-c+c2]-3ab=．说明公式是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创15/15精品文档a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例分解因式

5、：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解．解因为x16-1=，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以，再除以的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使

6、多项式能用分组分解法进行因式分解．例分解因式：x2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创15/15精品文档3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=-9x+9=-9=．解法将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=+=x-8=．解法将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=+=9x-8=．解法添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2+2016全新精品资料-全新公文范文-

7、全程指导写作–独家原创15/15精品文档=．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例分解因式：x9+x6+x3-3；+4mn；用换元法分解因式我们的课本中介绍了对一个多项式进行因式分解的很多方法，比如提公因式法、运用公式法、分组分解法等等，这些方法都是最基础的因式分解方法.一些同学在解答课外题时，往往感到只用这些方法还是有点力不从心，于是他们纷纷找到李老师，请她“再