微积分数学基础ppt课件.ppt

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1、导数和微分§1导数的概念11.变速运动的速度第一节导数的概念一、变化率问题举例2342.切线问题56上面两个例子分别属于不同领域,一为运动问题，一为几何问题,但都要求计算函数值的改变量与自变量的改变量之比,在当后者无限趋于零时的极限.此外,很多理论或实际问题,也要求计算这种类型的极限,这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性,便得出函数导数的概念.7二、导数的定义891011★★关于导数的说明：12三、由定义求导数:步骤:例1解:13解1415解16解17解18四导数的意义1几何意义切线方程为法线方程为192简单的物理意义1）变速直线运动中：路程对时间的导数为物体的

2、瞬时速度.202）交流电路中电量对时间的导数为电流强度.212、熟记以下导数公式：（1）（C)‘=0（2）(3)（4）（5）22§2求导法则导数和微分23解24推论例1解25例2解定理426例3解同理可得27例1解:先求运动的方向28再求速度的大小29定积分30一、问题提出1.曲边梯形的面积设y=f(x)为区间[a,b]上连续函数，且f(x)≥0，由曲线y=f(x)，直线x=a，x=by=0所围成的图形称为曲边梯形。下面讨论曲边梯形的面积31对于多边形的面积，我们在中学就已经会计算了，例如矩形的面积=底×高显然，曲边梯形的面积不能用这个公式来计算。直与曲不变与变32砖是

3、直边的长方体烟囱的截面是弯曲的圆“直的砖”砌成了“弯的圆”局部以直代曲33abxyoabxyo虽然曲边梯形的准确面积我们不会计算，但是我们可以用一些小矩形来近似算出它的面积。（四个小矩形）（九个小矩形）从中可以得到一个什么样的启示？34小曲边梯形的底：小曲边梯形的高：小曲边梯形的面积：35⑴分割用任意的一组分点：把[a,b]分成n个小区间[xi-1,xi]i=1,2,…,n相应地把曲边梯形分为n个小曲边梯形，其面积分别记为ΔSii=1,2,…,n（化整为零）36⑵近似代替在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi，其中（曲转化为直）于是小曲边梯形的面积37⑶求和（积零

4、为整）大曲边梯形的面积38⑷取极限令若极限存在，则定义此极限值为曲边梯形的面积（直转化为曲）让每个小区间的长度趋于零再演示一下这个过程39│││││││││││定积分的演示1、分割将[a，b]分割为n个小区间02、取介点在每个小区间上任取一点xi3、局部以直代曲每个小区间上的曲线y=f(x)用直线段y=f(xi)代替4、作和：S∆=yx40定积分的演示1、分割将[a，b]分割为n个小区间2、取介点在每个小区间上任取一点xi3、局部以直代曲每个小区间上的曲线y=f(x)用直线段y=f(xi)代替4、作和：S∆=5、取极限abyx41求曲边梯形的面积体现了曲转化为直、直转化

5、为曲的辩证思想。这个计算过程，就是一个先微分后积分的过程。也就是说，把曲边梯形分割成许多小曲边梯形，在每个小曲边梯形中，把曲边看成直边，用这些小“矩形”面积的和近似地表示原来大曲边梯形的面积，从而实现了局部的曲转化为局部的直，即“以直代曲”。42然后，再把分割无限加细，通过取极限，就使小矩形面积的和，转化为原来大曲边梯形的面积。这样局部的直又反过来转化为整体的曲。这种曲转化为直，直转化为曲，以及由此所反映出来的化整为零、积零为整的思想方法，是微积分乃至整个高等数学的一个重要方法。43F虽然是变力，但在很短一段间隔内，F的变化不大，可近似看作是常力作功问题。按照求曲边梯形

6、面积的思想，F(x)AB再看一个变力做功的问题。设质点m受力的作用，在变力F的作用下，沿直线由A点运动到B点，求变力作的功上一页下一页44⑴分割用任意的一组分点：把[a,b]分成n个小区间[ti-1,ti]i=1,2,…,n⑵近似代替在[ti-1,ti]上任取一点ξi，于是在该小区间上的力作的功45⑶求和总功⑷取极限令若极限存在，则定义此极限值为力所做的功46从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归结为形如的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是

7、今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义47二、定积分的定义定义:在[a,b]内任取一组分点将[a,b]分成n个子区间Δi=[xi-1,xi]i=1,2,…,n这些分点构成[a,b]的一个分割，记为T={x0,x1,…,xn}={Δ1,Δ2,…,Δn}记Δxi=xi–xi-1，并称为分割T的模48称此和式为f在[a,b]上的一个积分和，也称为黎曼（Riemann）和定义:设函数f(x)在[a,b]上有定义,对[a,b]的一个分割T={Δ1,Δ2,…,Δn}，任取点iΔi,i=1,2,…,n，作和49定义:设函数f(x)在[a,