高中数学第二章几个重要的不等式2.1.2一般形式的柯西不等式训练北师大版选修4.pdf

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名师推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2.1.2一般形式的柯西不等式一、选择题1111.设a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝3，则＋＋的最小值为()abcA.9B.3C.3D.1121212222解析[(a)＋(b)＋(c)]·＋＋abc1112≥a·＋b·＋c·abc1112即(a＋b＋c)＋＋≥3.abc111又∵a＋b＋c＝3，∴＋＋≥3，最小值为3.abc答案B2222222.已知a1＋a2＋⋯＋an＝1，x1＋x2＋⋯＋xn＝1，则a1x

2、1＋a2x2＋⋯＋anxn的最大值为()A.1B.nC.nD.22222222解析由柯西不等式(a1＋a2＋⋯＋an)(x1＋x2＋⋯＋xn)≥(a1x1＋a2x2＋⋯＋anxn)得21·1≥(a1x1＋a2x2＋⋯＋anxn)，∴a1x1＋a2x2＋⋯＋anxn≤1.所求的最大值为1.答案A2223.已知2x＋3y＋4z＝10，则x＋y＋z取到最小值时的x，y，z的值为()5105203040A.，，B.，，3962929291111C.1，，D.1，，2349222222222（x＋y＋z）（2＋3＋4）解

3、析x＋y＋z＝292（2x＋3y＋4z）100≥＝，2929x＝2k，当且仅当y＝3k，时，等号成立，则4k＋9k＋16k＝29k＝10，z＝4k1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名师推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯20x＝，291030解得k＝，∴y＝，选B.292940z＝.29答案B二、填空题222224.已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a＋b＋c＋d＋e＝16，则e的取值范围为________.22222222解析4(a＋b＋c＋d)＝(1＋1＋1＋1)

4、(a＋b＋c＋d)2≥(a＋b＋c＋d)2222即4(16－e)≥(8－e)，即64－4e≥64－16e＋e216∴5e－16e≥0，故0≤e≤.516答案0，51115.设a，b，c＞0且a＋b＋c＝A(A为常数).则＋＋的最小值为________.abc111＋＋（a＋b＋c）111abc解析＋＋＝abcA1112a·＋b·＋c·abc9≥＝.AA9答案A三、解答题22226.已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a＋2b＋3c＋6d＝5，试求a的最值.解由柯西不等式得，有2221112(2b＋3c

5、＋6d)＋＋≥(b＋c＋d)，2362222即2b＋3c＋6d≥(b＋c＋d)22由条件可得，5－a≥(3－a)2b3c6d111解得，1≤a≤2当且仅当＝＝时等号成立，代入b＝，c＝，d＝时，amax111236236＝2.2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名师推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21b＝1，c＝，d＝时，amin＝1.337.设a1>a2>⋯>an>an＋1，求证：1111＋＋⋯＋＋>0.a1－a2a2－a3an－an＋1an＋1－a1证明∵a1－an＋1＝(a1－a

6、2)＋(a2－a3)＋⋯＋(an－an＋1)，∴[(a1－a2)＋(a2－a3)＋⋯＋(an－an＋1)]·111＋＋⋯＋a1－a2a2－a3an－an＋111122≥(a1－a2·＋a2－a3·＋⋯＋an－an＋1·)＝n>1.a1－a2a2－a3an－an＋1111∴(a1－an＋1)＋＋⋯＋>1.a1－a2a2－a3an－an＋11111即＋＋⋯＋>，a1－a2a2－a3an－an＋1a1－an＋11111故＋＋⋯＋＋>0.a1－a2a2－a3an－an＋1an＋1－a18.设P是△ABC内的一点，x，y

7、，z是P到三边a，b，c的距离.R是△ABC外接圆的半径，1222证明：x＋y＋z≤·a＋b＋c.2R证明由柯西不等式得，111x＋y＋z＝ax＋by＋czabc111≤ax＋by＋cz＋＋.abc设S为△ABC的面积，则abcabcax＋by＋cz＝2S＝2＝，4R2Rabcab＋bc＋cax＋y＋z≤2Rabc11222＝ab＋bc＋ca≤a＋b＋c，2R2R故不等式成立.9.已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝

8、x＋a

9、＋

10、x－b

11、＋c的最小值为4.(1)求a＋b＋c的值；12122(2)求a＋b＋

12、c的最小值.493⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名师推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解(1)因为f(x)＝

13、x＋a

14、＋

15、x－b

16、＋c≥

17、(x＋a)－(x－b)

18、＋c＝

19、a＋b

20、＋c，当且仅当－a≤x≤b时，等号成立.又a＞0，b＞0，所以

21、a＋b

22、＝a＋b.所以f(x)的最小值为a＋b＋c.又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.(2)由(1)知a