高中数学第二章几个重要的不等式2.1.2一般形式的柯西不等式训练北师大版选修4.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2.1.2一般形式的柯西不等式一、1111.设a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝3，a＋b＋c的最小()A.9B.3C.3D.1222121212解析[(a)＋(b)＋(c)]·a＋b＋ca·1112≥＋b·＋c·cab即(a＋b＋c)1112a＋b＋c≥3.又∵a＋b＋c＝3，∴1＋1＋1≥3，最小3.abc答案B222222，ax＋ax＋⋯＋ax的最大()2.已知a＋a＋⋯＋a＝1，x＋x＋⋯＋x＝112n12n1122nnA.1B.nC.nD.2解析

2、由柯西不等式222)(x222)≥(a1x1＋a2x2＋⋯＋ax)2得(a1＋a2＋⋯＋an1＋x2＋⋯＋xnnn1·1≥(11＋22＋⋯＋nn211＋22＋⋯＋nn所求的最大1.ax)，∴ax≤1.axaxaxax答案A3.已知2x＋3y＋4z＝10，x2＋y2＋z2取到最小的x，y，z的()5105203040A.3，9，6B.29，29，291111C.1，2，3D.1，4，9222222解析x2＋y2＋z2＝（x＋y＋z）（2＋3＋4）（2x＋3y＋4z）2100≥29＝29，x＝2k，当且当y＝3k，，等号成立，4k＋9k＋16k＝29k＝10

3、，z＝4k1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x＝2920，10＝30，选B.解得k＝29，∴y29z＝4029.答案B二、填空题4.已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，则e的取值范围为________.解析4(a2＋b2＋c2＋d2)＝(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)≥(a＋b＋c＋d)2即4(16－e2)≥(8－e)2，即64－4e2≥64－16e＋e2216∴5e－16e≥0，故0≤e≤5.16答案0，55.设a，b，c＞0

4、且a＋b＋c＝A(A为常数).则1＋1＋1的最小值为________.abc111111a＋b＋c（a＋b＋c）解析a＋b＋c＝A1112a·＋b·＋c·c9ab≥A＝A.9答案A三、解答题6.已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的最值.解由柯西不等式得，有2221112(2b＋3c＋6d)＋＋≥(b＋c＋d)，236即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2由条件可得，5－a2≥(3－a)223c6111解得，1≤a≤2当且仅当bdb＝，c＝，d＝时，amax＝＝时等号成立，代入111236236＝2.

5、2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21b＝1，c＝3，d＝3，amin＝1.7.设a1>a2>⋯>an>an＋1，求：111＋1>0.＋＋⋯＋a－aa＋1－a1a1－a2a2－a3＋1nnn明∵1－n＋1＝(1－2)＋(2－3)＋⋯＋(n－n＋1)，aaaaaaaa∴[(a1－a2)＋(a2－a3)＋⋯＋(an－an＋1)]·11＋⋯＋1＋an－an＋1a1－a2a2－a3≥(a1－a2·1＋a2－a3·1＋⋯＋an－an＋1·1)2＝n2>1.a1－a2a2－a3an－an＋1111∴(a1

6、－an＋1)a1－a2＋a2－a3＋⋯＋an－an＋1>1.即111>1，＋a2＋⋯＋an－an＋1a1－a2－a3a1－an＋1故111＋1＋＋⋯＋a－aa>0.a－aa－an＋1n＋1－a1223n18.设P是△ABC内的一点，x，y，z是P到三a，b，c的距离.R是△ABC外接的半径，明：x＋y＋z≤1·a2＋b2＋c2.2R明由柯西不等式得，111x＋y＋z＝axa＋byb＋czc≤ax＋by＋cz111a＋b＋c.设S△ABC的面，abcabcax＋by＋cz＝2S＝24R＝2R，abc＋bc＋cax＋y＋z≤ab2Rabc＝1Rab＋bc＋c

7、a≤1a2＋b2＋c2，22R故不等式成立.9.已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝

8、x＋a

9、＋

10、x－b

11、＋c的最小4.(1)求a＋b＋c的；12122(2)求4a＋9b＋c的最小.3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解(1)因为f(x)＝

12、x＋a

13、＋

14、x－b

15、＋c≥

16、(x＋a)－(x－b)

17、＋c＝

18、a＋b

19、＋c，当且仅当－a≤x≤b时，等号成立.又a＞0，b＞0，所以

20、a＋b

21、＝a＋b.所以f(x)的最小值为a＋b＋c.又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.(2)由(1)知a＋

22、b＋c＝4，由柯西不等式，得121224a＋9b＋c(4＋9＋1)≥ab2＋＋2