2018-2019学年高中数学第二章几个重要的不等式1.2一般形式的柯西不等式学案北师大版选修

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1、1.2　一般形式的柯西不等式学习目标　1.理解并掌握三维形式的柯西不等式.2.了解柯西不等式的一般形式，体会从特殊到一般的思维过程.3.会用三维形式及一般形式的柯西不等式解决一些特殊形式的问题．知识点一　三维形式的柯西不等式思考1　类比平面向量，在空间向量中，如何用

2、α

3、

4、β

5、≥

6、α·β

7、推导三维形式的柯西不等式？答案　设α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，则

8、α

9、＝，

10、β

11、＝.∵

12、α

13、

14、β

15、≥

16、α·β

17、，∴·≥

18、a1b1＋a2b2＋a3b3

19、，∴(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.思考2　三维形式的柯西不等式中，等号成立的

20、条件是什么？答案　当且仅当α，β共线时，即β＝0或存在实数k，使a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3时，等号成立．梳理　三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3是两组实数，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.当向量(a1，a2，a3)与向量(b1，b2，b3)共线时，等号成立．知识点二　一般形式的柯西不等式1．一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是两组实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.2．柯西不等式等号成立的条件当且仅当bi＝0

21、(i＝1,2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时等号成立．当向量(a1，a2，…，an)与向量(b1，b2，…，bn)共线时，等号成立.类型一　利用柯西不等式证明不等式命题角度1　三维形式的柯西不等式的应用例1　设a，b，c为正数，且不全相等．求证：＋＋＞.证明　构造两组数，，；，，，则由柯西不等式，得(a＋b＋b＋c＋c＋a)≥(1＋1＋1)2，①即2(a＋b＋c)≥9，于是＋＋≥.由柯西不等式知，①中等号成立⇔＝＝⇔a＋b＝b＋c＝c＋a⇔a＝b＝c.因为题设中a，b，c不全相等，故①中等号不成立，于是＋＋＞.反思与感悟　有些问题一般

22、不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过：(1)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数．(2)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以重新安排各项的次序．(3)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以改变式子的结构，从而达到使用柯西不等式的目的．(4)构造符合柯西不等式的形式及条件，可以添项．跟踪训练1　已知a，b，c∈R＋，求证：·≥9.证明　由柯西不等式知，左边＝×≥2＝(1＋1＋1)2＝9，∴原不等式成立．命题角度2　一般形式的柯西不等式的应用例2　设a1，a2，…，an为正整数，求证：＋＋…＋≥a1＋a2＋…＋an.证明　由柯西不等式，得(a2＋a3＋…＋a1)≥

23、2＝(a1＋a2＋…＋an)2，故＋＋…＋≥a1＋a2＋…＋an.反思与感悟　一般形式的柯西不等式看着往往感觉比较复杂，这时一定要注意式子的结构特征，一边一定要出现“方、和、积”的形式．跟踪训练2　已知a1，a2，…，an∈R＋，且a1＋a2＋…＋an＝1，求证：＋＋…＋＋≥.证明　∵×2＝[(a1＋a2)＋(a2＋a3)＋…＋(an＋a1)]≥2＝(a1＋a2＋…＋an)2＝1，∴＋＋…＋≥.类型二　利用柯西不等式求函数的最值例3　(1)若实数x，y，z满足x＋2y＋3z＝a(a为常数)，则x2＋y2＋z2的最小值为______．答案　解析　∵(12＋22＋32)(x

24、2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2＝a2，当且仅当＝＝时取等号，即14(x2＋y2＋z2)≥a2，∴x2＋y2＋z2≥，即x2＋y2＋z2的最小值为.(2)已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1.求＋＋的最小值；解　∵x＋y＋z＝1，∴＋＋＝(x＋y＋z)≥2＝(1＋2＋3)2＝36.当且仅当x＝＝，即x＝，y＝，z＝时取等号．∴＋＋的最小值为36.反思与感悟　利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．跟踪训练3　已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f(x)＝

25、x＋a

26、＋

27、x－b

28、＋c的最小值为4.(1)求a＋b

29、＋c的值；(2)求a2＋b2＋c2的最小值．解　(1)因为f(x)＝

30、x＋a

31、＋

32、x－b

33、＋c≥

34、(x＋a)－(x－b)

35、＋c＝

36、a＋b

37、＋c，当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．又a＞0，b＞0，所以

38、a＋b

39、＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b＋c，又已知f(x)的最小值为4，所以a＋b＋c＝4.(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式，得(4＋9＋1)≥2＝(a＋b＋c)2＝16，即a2＋b2＋c2≥，当且仅当＝＝，即a＝，b＝，c＝时等号成立，故a2＋b2＋c2的最小值为.1．已知x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝2，则＋2＋的最