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时间:2020-09-29
《高中数学第二章几个重要的不等式2.1.2一般形式的柯西不等式训练北师大版选修4.pdf》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名师推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2.1.2一般形式的柯西不等式一、选择题1111.设a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=3,则++的最小值为()abcA.9B.3C.3D.1121212222解析[(a)+(b)+(c)]·++abc1112≥a·+b·+c·abc1112即(a+b+c)++≥3.abc111又∵a+b+c=3,∴++≥3,最小值为3.abc答案B2222222.已知a1+a2+⋯+an=1,x1+x2+⋯+xn=1,则a1x
2、1+a2x2+⋯+anxn的最大值为()A.1B.nC.nD.22222222解析由柯西不等式(a1+a2+⋯+an)(x1+x2+⋯+xn)≥(a1x1+a2x2+⋯+anxn)得21·1≥(a1x1+a2x2+⋯+anxn),∴a1x1+a2x2+⋯+anxn≤1.所求的最大值为1.答案A2223.已知2x+3y+4z=10,则x+y+z取到最小值时的x,y,z的值为()5105203040A.,,B.,,3962929291111C.1,,D.1,,2349222222222(x+y+z)(2+3+4)解
3、析x+y+z=292(2x+3y+4z)100≥=,2929x=2k,当且仅当y=3k,时,等号成立,则4k+9k+16k=29k=10,z=4k1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名师推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯20x=,291030解得k=,∴y=,选B.292940z=.29答案B二、填空题222224.已知实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8,a+b+c+d+e=16,则e的取值范围为________.22222222解析4(a+b+c+d)=(1+1+1+1)
4、(a+b+c+d)2≥(a+b+c+d)2222即4(16-e)≥(8-e),即64-4e≥64-16e+e216∴5e-16e≥0,故0≤e≤.516答案0,51115.设a,b,c>0且a+b+c=A(A为常数).则++的最小值为________.abc111++(a+b+c)111abc解析++=abcA1112a·+b·+c·abc9≥=.AA9答案A三、解答题22226.已知实数a,b,c,d满足a+b+c+d=3,a+2b+3c+6d=5,试求a的最值.解由柯西不等式得,有2221112(2b+3c
5、+6d)++≥(b+c+d),2362222即2b+3c+6d≥(b+c+d)22由条件可得,5-a≥(3-a)2b3c6d111解得,1≤a≤2当且仅当==时等号成立,代入b=,c=,d=时,amax111236236=2.2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名师推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21b=1,c=,d=时,amin=1.337.设a1>a2>⋯>an>an+1,求证:1111++⋯++>0.a1-a2a2-a3an-an+1an+1-a1证明∵a1-an+1=(a1-a
6、2)+(a2-a3)+⋯+(an-an+1),∴[(a1-a2)+(a2-a3)+⋯+(an-an+1)]·111++⋯+a1-a2a2-a3an-an+111122≥(a1-a2·+a2-a3·+⋯+an-an+1·)=n>1.a1-a2a2-a3an-an+1111∴(a1-an+1)++⋯+>1.a1-a2a2-a3an-an+11111即++⋯+>,a1-a2a2-a3an-an+1a1-an+11111故++⋯++>0.a1-a2a2-a3an-an+1an+1-a18.设P是△ABC内的一点,x,y
7、,z是P到三边a,b,c的距离.R是△ABC外接圆的半径,1222证明:x+y+z≤·a+b+c.2R证明由柯西不等式得,111x+y+z=ax+by+czabc111≤ax+by+cz++.abc设S为△ABC的面积,则abcabcax+by+cz=2S=2=,4R2Rabcab+bc+cax+y+z≤2Rabc11222=ab+bc+ca≤a+b+c,2R2R故不等式成立.9.已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=
8、x+a
9、+
10、x-b
11、+c的最小值为4.(1)求a+b+c的值;12122(2)求a+b+
12、c的最小值.493⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名师推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解(1)因为f(x)=
13、x+a
14、+
15、x-b
16、+c≥
17、(x+a)-(x-b)
18、+c=
19、a+b
20、+c,当且仅当-a≤x≤b时,等号成立.又a>0,b>0,所以
21、a+b
22、=a+b.所以f(x)的最小值为a+b+c.又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.(2)由(1)知a
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