武汉科技大学_信号与系统习题精解第7章.doc

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1、第7章连续时间系统的频域分析7.1学习要点1频率响应的定义频率响应可定义为系统零状态响应的傅里叶变换与激励的傅里叶变换之比，即。可写为：,其中，是输出与输入信号的幅度之比，称为幅频特性（或幅频响应）；是输出与输入信号的相位差，称为相频特性（或相频响应）。2虚指数信号通过线性系统假设一个单位冲激响应为的线性时不变系统，若有激励信号则系统的零状态响应为：所以，当虚指数信号通过线性系统时，其零状态响应就是用乘以。3正弦信号通过线性系统若线性系统的激励为正弦信号则系统的零状态响应为：所以，线性系统对正弦激励的响应为与激励同频率的正弦量，其振幅为激励的振

2、幅与模值的乘积，其相位为激励的初相位与相位的和。4非正弦周期信号通过线性系统周期为的非正弦周期信号可展开为：184式中，则线性系统对该信号的零状态响应为：式中，，。所以，当周期信号作用于线性系统时，其零状态响应仍为周期信号，且周期和激励信号的周期相同。5非周期信号激励下系统的响应当线性时不变系统的单位冲激响应为，激励为时，系统的零状态响应为：对上式两端进行傅里叶变换，并利用时域卷积定理可得：即系统零状态响应的频谱函数等于系统的频率响应函数与激励的频谱函数之乘积。在求得后，可利用傅里叶反变换求得系统的时域响应。6系统实现无失真传输的条件：（1）系

3、统在全部频率范围内为常数，即系统的通频带应为无穷大；（2）系统的相频特性应为通过原点的直线，即在整个频率范围内与成正比。设输入信号为，那么经过无失真传输，输出信号应该为：，即输出信号的幅度是输入信号幅度的倍，而且比输入信号延时了秒。其幅频响应和相频响应分别为：信号通过系统的延时为：7理想低通滤波器的定义具有图7-1所示幅频和相频特性的滤波器称为理想低通滤波器。184图7-1理想低通滤波器的幅频特性和相频特性可见，该滤波器对低于的频率成分不失真地全部通过，而对高于的频率成分完全抑制掉，称为截止角频率。所以，的频率范围称为通带；的频率范围称为阻带。

4、理想低通滤波器的频率响应函数为：8理想低通滤波器的冲激响应理想低通滤波器的冲激响应为：取，其波形如图7-2所示。图7-2理想低通滤波器的冲激响应由图7-2可知，冲激响应的波形不同于激励信号的波形，产生了严重失真。另外，冲激响应在的时候存在，这说明理想低通滤波器是一个非因果系统，是物理不可实现的系统。9理想低通滤波器的阶跃响应理想低通滤波器的阶跃响应为：取，的波形如图7-3所示。184图7-3理想低通滤波器的阶跃响应由图7-3可知，理想低通滤波器的阶跃响应不像阶跃信号那样陡直上升，这表明阶跃响应的建立需要一段时间；同时波形出现过冲激振荡，这是由于

5、理想低通滤波器是一个带限系统所引起的。7.2精选例题例1已知一个连续LTI系统可用描述，利用傅里叶变换求下列输入信号作用下的输出：（1）（2）解：对微分方程求傅里叶变换，得：频率响应为：（1）输入，其傅里叶变换为，求其反变换可得。（2）输入，其傅里叶变换为，184求其反变换可得。例2如例2图所示的电路，若激励电压源为单位阶跃信号，求电容电压的零状态响应。例2图解：电路的频率响应函数为：式中，。单位阶跃信号的傅里叶变换为：可得零状态响应的频谱函数为：考虑到冲激函数的取样性质，得：取上式的傅里叶反变换，得输出电压式中，。例3某LTI系统的频率响应为

6、，若系统输入为184，求该系统的输出。解：因为，所以系统的输出的傅里叶变换为：得输出为。例4已知某一理想低通滤波器的频率响应为，若输入信号为，求输出。解：对输入信号进行化简，得：即输入信号包含了三个频率成分：，以及。由于系统频率响应是截止频率为120的理想低通滤波器，则只能让的频率分量通过，而和无法通过，故。例5已知系统框图如例5图所示，其中为门函数，子系统的单位冲激响应为：，系统输入为（）。（1）求子系统输出的傅里叶变换；（2）证明傅里叶系数为；（3）求系统的稳态响应。例5图解：（1），184因为，由频域卷积定理得：再由时域卷积定理可得：而的

7、周期，角频率为，由于其单周期的傅里叶变换为，则由周期信号的傅里叶级数与单周期信号傅里叶变换的关系得：故其傅里叶变换为：则（2）由（1）知也是周期，角频率为的周期信号。若的傅里叶级数为，则其傅里叶变换为：与（1）的结果相对比直接可得。184（3）由傅里叶变换的对称性可知，即系统是一个理想低通滤波器，其截止频率为。由（2）知的基波频率为，则2次谐波和2次谐波以上的频率分量全部被滤除，只剩下直流分量和基波分量，即输出信号为：例6已知系统的单位冲激响应为，输入，求系统的输出。解：显然有由傅里叶变换的对称性可得：再根据频移特性可得：即同理可求得：根据时域

8、卷积定理，可得：由及频移性质得。7.3习题精解1.已知某LTI系统的单位冲激响应为，系统的输入为，求该系统的输出。解：输入信号的频谱为：184系统的频