武汉科技大学_信号与系统习题精解 第2章

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1、第2章时域连续信号的频域分析2.1本章要点信号具有时域特性和频域特性，本章讨论信号的频域特性，其目的一是掌握信号频域特性的分析，二是为系统的频域分析方法作准备。从本章开始由时域转入变换域分析，频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。1、信号的正交分解若个函数构成一个函数集，当这些函数在区间内满足(2-1)式中，为一常数。则称此函数集为在区间上的正交函数集。在区间内相互正交的n个函数构成正交信号

2、空间。当时，上述函数集就称为是归一化正交的。如果在正交函数集之外，不存在任何函数满足(2-2)则称此函数集为完备正交函数集。也就是说，如能找到一个函数使得式(2-6)成立，即与函数集的每一个函数都正交，那么它本身就应属于此函数集。显然不包含的集是不完备的。设有个函数在区间上构成一个正交函数集，将任一函数用这个正交函数的线性组合来近似，可以表示为：(2-3)应选取系数使得实际函数与近似函数之间误差在区间内最小。这里“误差最小”不是指平均误差最小，因为平均误差很小甚至等于零时，也可能出现较大的正误差与较大的负误差在平均

3、过程中相互抵消，以致不能正确反映两函数的近似程度。通常选择误差的均方值最小。误差的均方值也称为均方误差，用符号表示：(2-4)57可求得(2-5)2、周期信号的频谱分析——傅里叶级数周期信号，周期为，基波角频率为，在满足狄里赫利条件时，可展成(2-6)称为三角形式的傅里叶级数，由正、余弦正交条件及式(2-5)可得三角函数型傅里叶系数：直流分量：(2-7)余弦分量的幅度：(2-8)正弦分量的幅度：(2-9)利用欧拉公式,则得到傅里叶级数的复数形式(2-10)(2-11)三角函数型和指数型傅里叶系数之间的关系。(2-1

4、2)(2-13)(2-14)57(2-15)以各谐波的振幅或虚指数信号的幅度

5、

6、为纵坐标，画出的图形，称之为幅度(或振幅)频谱，简称幅度谱。画出各谐波初角与频率(或角频率)的线图，称之为相位频谱。如果是实的，则可以用的正负来表示为或，这时将幅度谱和相位谱画在一个图上。3、非周期信号的频谱分析——傅里叶变换(2-16)前者是由信号的时间函数变换为频率函数，称为傅里叶正变换式；后者是由信号的频率函数变换为时间函数，称为傅里叶反变换式。也可简记为ℱℱ(2-17)或(2-18)非周期信号的傅里叶变换也应该满足一定的条件才能

7、存在。这种条件类似于傅里叶级数的狄里赫利条件，不同之处仅仅在于时间范围从一个周期扩展为无限区间，条件，即要求信号f(t)在无限区间内绝对可积。但这仅是充分条件，而不是必要条件，自从引入了广义函数的概念以后，对于许多并不满足绝对可积条件的函数(如阶跃信号、符号函数及周期信号等)，其傅里叶变换可以有确定的表示式。一般情况下，频谱函数是一个复函数，它可以写成(2-19)亦称为幅度频谱，它是频率的函数，它代表信号中各频率分量的相对大小，而各频率分量的实际幅度是，它是一无穷小量。称为相位频谱，它也是频率的函数，它代表有关频率

8、分量的相位。非周期信号也和周期信号一样，可以分解为许多不同频率的正弦分量。所不同的是，由于非周期信号的周期趋于无限大，基波频率就趋于无限小，因此组成信号的分量的频率包含了从零到无穷大之间的一切频率。同时随着周期的无限增大，组成信号的分量的振幅则无限减小，所以频谱不能直接用振幅作出，而必须用它的密度函数来作出。密度函数的模量对频率作出的连续曲线代表信号的幅度频谱；密度函数的相角57对频率作出的连续曲线则是信号的相位频谱。表2-1常见信号的傅里叶变换及其频谱图序号信号名称波形图频谱图1单边指数信号2偶双边指数信号，4对

9、称矩形脉冲信号575符号函数6单位直流信号7单位冲激信号8阶跃信号579余弦信号10正弦信号11冲激串信号信号的特性可以在时域中用时间函数完整地表示出来，也可以在频域中用频谱函数完整地表示出来，而且两者之间有着密切的联系，即傅里叶正反变换已经给出了信号的时域特性与频域特性之间的一般关系。但是，如果进一步研究一下傅里叶正反变换式，还可以得出两者之间的若干特定对应关系。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。表2-2傅里叶变换的基本性质性质时域频域定义线性57奇偶性是实函数，，，，是虚函数，-对称性时移特性频

10、移特性尺度变换时域微分时域积分频域微分频域积分时域卷积频域卷积57帕斯瓦尔定理4、周期信号的傅里叶变换设周期信号的周期为，则角频率，可以将展开成指数形式的傅里叶级数(2-20)将上式两边取傅里叶变换,可求出周期信号的傅里叶变换=ℱ(2-21)其中，是的傅里叶级数的系数，它等于(2-22)式(2-21)表明，周期信号的傅里叶变换是由一系列的冲激信号所组成。这些