武汉科技大学_信号与系统习题精解第4章.doc

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1、第4章时域离散信号的频域分析4.1学习要点1.z变换的定义序列的z变换定义为：(4-1)单边z变换定义为：(4-2)对因果序列，单边z变换与双边z变换相等。2.z变换的收敛域并不是所有序列的z变换对所有值都是存在的。序列的z变换存在，就必须有(4-3)又因为，则要求(4-4)根据罗朗级数的性质，z变换的收敛域一般是某个环域：，式中<，可小到0，可以大到。求序列的z变换，必需给出收敛域，因为不同序列的z变换可能相同，但收敛域不同。讨论z变换的收敛域问题不仅涉及z变换的存在性和惟一性，而且由收敛域的形态，可大致推断出其对应信号的类型，归纳于表4-1中。表4-1序列类型与收敛域的对应关系序列类型收

2、敛域有限长序列右边序列104左边序列双边序列3.z反变换已知及其收敛域，反过来求序列的变换称为z反变换。z反变换的定义为：(4-5)c为收敛域内环绕原点的一条逆时针闭合围线。直接计算围线积分是比较麻烦的，一般采用幂级数展开法、留数法和部分分式展开法。（1）幂级数展开法幂级数展开法，又叫长除法。根据z变换的定义，可用长除法将展开为幂级数形式，其系数就是相应的原序列的值。幂级数展开法的一般步骤：①根据收敛域确定对应的序列是因果序列还是反因果序列；②若为因果序列，可将展成负幂级数（分子、分母也按的降幂排列），若为反因果序列，可将展成正幂级数（分子、分母也按的升幂排列）；③总结序列的规律。（2）留数

3、法对于有理z变换，式(4-5)的围线积分可用留数定理来计算。设在有限的平面上，是在围线内部的极点集，是在围线外部的极点集。根据柯西留数定理，有(4-6)或(4-7)围线内的极点一般对应于一个因果序列，而外的极点对应于一个反因果序列，因此当时，使用式(4-6)；当时，使用式(4-7)。如果是的有理函数，且处有阶极点，即104(4-8)式中，在处无极点，那么在处的留数可用下式计算(4-9)（3）部分分式展开法同拉普拉斯反变换一样，z反变换也可使用部分分式展开法来求取原序列。其主要思想依然是将有理分式的象函数分解为基本己知序列的象函数之和，从而求出原序列。若为两个多项式和的比，设和的阶次分别为和。

4、当且只有一阶极点时，则可以表示成下列形式的部分分式展开式。(4-10)式中，是的极点。可由极点上的留数求得，即=(4-11)如果，则可展开成如下形式：(4-12)式中，可直接用长除法得到，仍由式(4-11)求得。如果具有多阶极点，则需要对式(4-12)进行修正，设在处有一阶的重极点，其余为单极点，可展为：(4-13)其中，计算同上。为：104(4-14)部分分式展开法的步骤：①求出的所有极点；②根据极点进行部分分式分解，求出、和；③根据收敛域，分清哪些部分分式对应的是因果序列，那些部分分式对应的是反因果序列；④根据常用序列z变换，求出所对应的。在已知及其收敛域求解序列的三种方法中：幂级数展开

5、法原理简单，但一般得不到封闭解；留数法能得到封闭解，但需要讨论多种情况；相比较而言，部分分式展开与收敛域相结合的方法是最适用的。当然也可以应用z变换的性质来求z反变换，灵活掌握z变换的性质不仅能简化求z变换的运算，也能简化求z反变换的运算。4.z变换的性质将z变换的基本性质列于表4-2中。表4-2z变换的基本性质序列Z变换收敛域1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．为因果序列，10412．为因果序列，的极点都在单位圆内13．5.序列傅里叶变换序列的傅里叶变换定义为：（4-15）反变换的定义为：(4-16)(4-15)和(4-16)式组成一对傅里叶变换公式。在物理意义上，表示的频谱密

6、度，简称频谱，为数字域频率。一般为复数，可用实部和虚部表示为：(4-17)或用幅度和相位表示为：(4-18)其中(4-19)(4-20)序列傅里叶变换有两个特点：(1)是以为周期的的连续函数。这是因为，所以从式（4.6-1）可得出。(2)当为实序列时，的幅值在区间内是偶对称函数，相位是奇对称函数。序列傅里叶变换是单位圆上的z变换。只有绝对可和的序列（即）才能用（4-15）式求傅里叶变换。特殊地，周期序列需要引入冲激信号，才能得到周期序列的傅里叶变换。1046.序列傅里叶变换的性质表4-3列出了序列傅里叶变换的一些重要性质。表4-3序列的傅里叶变换的有关性质时域离散信号傅里叶变换1．线性2．移

7、位3．调制4．反转5．乘以n6．复共轭7．卷积8．相乘9．对称性7.周期序列傅里叶级数定义，周期序列的傅里叶级数（DFS）变换对为：(4-21)104将和进行周期延拓可得，(4-22)(4-23)式（4-22）和(4-23)表明：（1）将周期序列分解成次谐波，第次谐波频率为，，幅度为；（2）基波分量的频率是，幅度是。一个周期序列可以用离散傅里叶级数表示其频谱分布规律。（3）DFS具有线性性质、移位性质、调制性